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「１．こんなパラドックス、ありましたよね」 のところでは「面積１のピースが余っちゃう！」という話をしました。 「２．実はこのパラドックス「フィボナッチ数列」が隠されているんです」のところでは
「ac と b2 の差は必ず 1 になる！」という話をしました。どっちも、意味合いとしては「差が１だけ生じる」という言いかたができそうですね。実は、一般化のカギはここにあるんです。１．に出てきた直角三角形モドキは タテ13×ヨコ21 のサイズでした。 この 13 と 21 はフィボナッチ数列の中で隣りあった数として出てきています。果たして、これは偶然なのか……？実は、偶然じゃぁないんです。 なんと、こんなことが言えちゃうんです！フィボナッチ数列の中の隣りあう２つの数 c, d（c＜d）を拾ってタテ c ×ヨコ d サイズの直角三角形モドキをつくり、同じようなパラドックス話を展開することができる。ここで復習！フィボナッチ数列とは・・・1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……（以下、無限に続く）実際にやってみましょう。上の例では c＝13, d＝21 でした。次には、c＝34, d＝55 としてみましょう。 さぁ、下図をご覧あれ！ どうでしょう？なんと、上で書いたパラドックスそのまんまの話ができちゃうんです。すごいですね！「適度に分割して並べかえたら面積１のピースが余った」って、まったく同じ話なんだもの！ |
阿奉賛「数学」再考・最高
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「こんなパラドックスありましたね」の続きです。
まず、このパラドックスの数学的秘密を開設する前に、準備をひとつ。こういう数列を紹介します。1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……（以下、無限に続く）これ、「フィボナッチ数列」と呼ばれるものです。二年ほど前に、「ひまわりの種とフィボナッチ数列そして黄金比」という記事でご紹介した事があります。 まるで、デタラメに数字が並んでいるみたいだけれど、実はちゃんとした法則があるんです。隣りあう３つの数を拾ってみると、その３つの数は足し算の関係になっているんです。たとえば、3，5，8 の場合は 3＋5＝8 だし、34，55，89 の場合は 34＋55＝89 になる。まぁ、もともとフィボナッチ数列というのは、２個の 1 から始めてそういう“足し算”の関係を満たすように新しい数字を次々つけ足してできた数列なんですね。だから、足し算の法則が成り立つのは当たり前と言えば、当たり前。でも、実はもうひとつ、隠れた法則があるんです。同じように隣りあう３つの数を拾います。その３つに関しては、足し算の法則以外に上のような法則も成り立つんです。 なんと、両端の数の積と真ん中の数の２乗との差が 1 である、というわけですね。実際にやってみましょう。たとえば、3，5，8 の場合は 3×8−52＝24−25＝−1 ですね。そして、34，55，89 の場合は 34×89−552＝3026−3025＝1 となる。どの隣接３数をとるかによって引き算結果は変わるんだけれど、どっちにしても差は必ず 1 になるわけです（普通、「差」といえば大きい数から小さい数を引いた値のことを指しますもんね）。なんとも不思議。実を言うと、この法則はすでに証明されていて、「カッシーニ - シムソンの定理」と呼ばれるそうです。その定理を以下に示します。余力のある方々は、昔を思い出して、手頃な演習問題として証明してみてください。 この続き、「３．フィボナッチ数列の不思議」 でいよいよ一般化にＴＲＹします。 |
こんなパラドックス、ありましたよねどこが変なんだろう・・・？ パラドックスの定番として、こんな話がありますよね。直角三角形をいくつかに分割して並べ替えると……あれ !? 同じ直角三角形のハズなのに！ 面積１のピースが余っちゃうっ！これはパズル好きな方々はすでに知っている話だろうし、これのカラクリについては特に話すことはないでしょう。【 パラドックスのタネ明かし 】(知らない方々のために解説を。)http://ak.images.smileycentral.jp/cat/jk/131.gif 上図の図形は２つとも合同のように見えますが、実は違います。斜辺にあたる線は直線にしか見えないけれど、微妙に折れ曲がっているんですね。見た目にはわからないほどビミョウです。ちなみに、上の斜辺は微妙にふくらんでいて、下の斜辺は微妙にヘコんでいます。そのヘコんだ分の面積がちょうど１なんですね。方眼紙などに実際に正確に描くと、微妙ながら違いが見られます。でも、この話、実は一般化できるということは知ってますか？続きは、明日！「実はこのパラドックス「フィボナッチ数列」が隠されているんです」を引き続きお読み下さい。 |
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この問題は、私の永遠のテーマであり、美しい形（安定した形状）とはどんなものか、考えてみる良い機会なので、数回に分けて記事にしてみたいと思います。 私が、このブログを始めたのが丁度２年前、私の技術コンサルタント事務所の名前を Ｅ−epsillon研究室（イー・イプシロン研究室）と命名しようと決めたのもこの頃でした、その当時、自然界の形態に潜む工学的な合理性をご紹介しようと「構造工学の薦め」というブログのタイトルも決めたのです。  その直後に、Ｅ−epsillon研究所のロゴマークとして、オーム貝の断面写真に観られる「黄金比（黄金率）」の話を書きました。  そして、一番簡単な「黄金比」の例を「黄金長方形は『長方形から正方形を切り取った残りの長方形は元の長方形と相似』」でご紹介し、「封筒で作る黄金比 」で具体的にご説明いたしました。  「黄金比」でできた長方形を、黄金比の尺度で縮小しながら回転させてゆくと・・・オーム貝の断面の構造になることが分るでしょう。 去年、ヒット映画「ダビンチ・コード」で有名になった、イタリアの天才芸術家 レオナルド・ダ・ビンチ Leonardo da Vinci (1452〜1519）は、この黄金比を彼の作品に多く用いていることは有名です。  自然界にある自然物（「人工物」と区別するため）は「フィボナッチ数列」という数列に支配されている。 フィボナッチ数列は黄金比と深い関係がある。この数列の任意の１項をその前項で割ると、その比率は黄金比φ（＝１．６１８…）に近い数値となる。また逆に前項をその項で割るともう一つの黄金比、すなわち小さいほうのφ´（＝０．６１８…）に近い数になる。例えば第１０項＜５５＞を例に取ってみよう。それを第９項＜３４＞で割ると、５５／３４＝１．６１７６４７…となる。また分母分子を逆にすると、３４／５５＝０．６１８１８１８…となる。なおこの任意の項数が大きくなるほど、この値は黄金比に漸近していき、その極限値が黄金比φ＝１．６１８０３３９８８…となるのだ。
黄金比はφ＝（１＋√５）／２及びφ′＝（１−√５）／２として表され、幾何学的には外分比と内分比を等しくする比率である。黄金比はバビロニア人が発見したといわれているが、正５角形を描けば、その１辺と対角線との比率に自然に現れる。またペンタグラムや正１２面体の一つの面などにも現れる。このフィボナッチ数列とリュカ数列の関係において、任意の項数のリュカ数を同じ項数のフィボナッチ数で割ると、２９／１３＝２．２３０…、４７／２１＝２．２３８…、７６／３４＝２．２３５、１２３／５５＝２．２３６…というように、√５＝２．２３６０６７９…の近似値を上下しながら、√５に漸近していくことが分かる。またこの数列の第１０項の５５という数は、１から１０までの整数全てを足した数、すなわち１０の３角数である。つまり１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５であるということだ。また第１２項の１４４という数は１２の２乗であり、この数列の中で１を除く唯一の平方数である。 黄金比φ(＝１．６１８…)を２乗すると２．６１８…となり、黄金比φに１を足した数となる。また黄金比φの逆数（＝１／１．６１８…）を取ると０．６１８…となり、黄金比φから１を引いた数となる。つまり観念的表現になるが、垂直方向に屹立するために自分自身の中にもある黄金分割比の次元連結点を見出し、それと自乗することによって新たなる１、もう１つの全体としての自分自身と交差することになる。逆に見ればプラス１の発想法がないといつまでたっても自分自身を超えていけないのである。そしてこの黄金比φそのものの累乗方向にも１２と１３の間に１つの界面がある。φの１３乗は５２０．８６…で、ツォルキン２６０のほぼ２倍になっている。
０．６１８…＝１−１．６１８…＝φ1/2＝φ−１１．６１８…＝１ ＝φ ２．６１８…＝１＋１．６１８…＝φ2 ＝φ＋１ 「黄金数」（黄金比）で形作られた形状は美しく、安定感がある事を感じていただけると思います。しかるに、この所、造られている構造物や機械には、いかにも人工的なプロポーションを持ったものが多いように感じます。「東京タワーブームだそうです・・・新東京タワーのデザインどう思いますか？」「コンクリートは難しい（その１） 〜 風力発電タワーの倒壊事故に関する私見」 ＜続く＞ |
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「不思議な図形 面積計算・・・合ってますよね！？」 で悩まれた方・・・この問題も考えてみて下さい。
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