通常のベクトルの分解とHelmholtzの分解との違い(1)

ヘルムホルツの分解定理は、英文Wiki、や日本語Wikiなどに示されているように

・・・１）

の数式で示されていますが、この式は単純な間違いをしています。

普通のベクトルの分解では、例えば、ある方向の流速を東西成分と南北成分に分解すると、元のベクトルは、すべて分解された成分に余すところなく分解されます。

しかし、ヘルムホルツの分解定理を示す１）式の右辺第1項は、元のベクトルAの発散成分を取り出して、その発散に寄与する成分のみを示しており、右辺第2項は、ベクトルAの渦成分を取り出して、その渦（度）に寄与する成分のみを示す式になっています。

１）式が、ヘルムホルツの分解定理を示していると考えることは、元のベクトルが「完全に発散成分と渦成分のみ」からできているベクトルについてのみ正解です。

電磁波を扱う人たちは、電磁波がその通りになっているものですから、１）式を信じて疑いませんが、「分解定理」を用いて彼らは分解したことはありません。

 

もしもベクトルＡに「発散にも渦にも寄与しない成分」が含まれている場合には、１）は不十分と言うか、間違っています。

正しくは、

・・・・・・２）

とすべきです。２）式のイメージを図にすると下図の通りです。

一般的には、ベクトル関数には発散にも渦にも寄与しない成分があります。単純明快な例として、一様流を考えて下さい。

上の２）式の左辺ベクトルAが一様流だとすると、ヘルムホルツの分解定理を示すとされる１）式では、右辺の第1項も、第2項も０になりますから積分常数を考えても、∇φも∇×Xも０ベクトルになります。元のベクトルAは明らかに０ベクトルではありませんから１）式は間違っており、２）式が正しいと考えるべきです。

一様流でなくても一般にベクトル関数は、発散にも渦にも寄与しない成分を含んでいます。ベクトルＡのある点における発散∇・Ａと渦∇×Ａの計算をするための差分計算のモデルを下図に示します。

図の中心におけるベクトルＡの発散と渦を計算します。

発散や渦を求めるためには、図の右に示す式に示す通りで、この点におけるベクトルＡをｘ方向成分Ｕとｙ方向成分Ｖに分解して、それぞれの成分のｘ方向とｙ方向の微分を用います。このときのベクトルの分解は、通常のベクトルの分解ですから、Ａは余すところなく全てがベクトルＵとベクトルVに分解されています。

そして、発散を求める式に出てくるベクトルは、図の青い矢印で、渦を求める式に出てくるベクトルは赤い矢印で示しています。全ての赤い矢印や青い矢印は、発散または渦の計算のどちらかに必ず使われていますので、もとのベクトルＡの全ての成分が発散または渦の計算に使われています。

しかも、発散計算に使われる青いベクトルは中心の点から出入りする（longitudinalな）方向になっていて、全く渦に寄与しない成分です。

逆に赤い矢印は中心からの放射線に直角な（transversalな）方向で発散には寄与しない成分になっています。

これは、１）式が正しいことを意味するのでしょうか。

その２に続く