通常のベクトルの分解とHelmholtzの分解との違い(2)

元のベクトルを余すところなく全て分解し、そのうち半分は発散計算に、残りの半分は渦の計算に用いられたのですから、１）式が正しいと考えるかもしれません。しかし、それぞれの成分の中に発散にも渦にも寄与しない成分はあります。

 

ベクトルAを流れのベクトルとすると、発散は、２次元では

∇・A＝∂U／∂ｘ＋∂V／∂ｙ

で表されます。

このうち、ｘ方向の成分Uによる発散を示すと下図のように

示すことができます。

上図は点ｏにおけるU成分による発散を求めるための模式図です。点ｏからΔｘ／２だけ大きい点をP4、小さい点をP2とし、それぞれの点におけるＡのｘ成分を、Ｕ４、Ｕ２とすると、点ｏにおけるＵ成分による発散量は（Ｕ４−Ｕ２）／Δｘとなります。

ここで点ｏにおける微小領域で定常流Ｕ２と発散成分に分けて考えます。Ｐ２におけるＵ＝定常流Ｕ２＋０、Ｐ４におけるＵ＝定常流Ｕ２＋（Ｕ４−Ｕ２）と考えると、点ｏのＵ成分による発散量は、

（＜定常流＋（Ｕ４−Ｕ２）＞−＜定常流＋０＞）／Δｘと考えることができます。

ｙ方向の成分Ｖについても、図は省略しますが、同じ考え方ができ、定常流と発散成分に分けて考えることができます。

また、同じように、渦に寄与しない成分を考えることができます。

今考えて居る点の近傍（P₁,P₂,P₃,P₄）のベクトルで渦や発散を考える時、「中心ｏ」からの放射線に対して「直交成分Ｕ_１，Ｖ_２，Ｕ_３，Ｖ_４」が回転を与える事は分かりますが、その成分の全てが「回転成分」になるのでは無く、「回転」に寄与しない成分があることは上の図に示す通りです。

 

即ち、ヘルムホルツの分解は、すべての成分が完全に分解しきってしまう、いわゆる通常の2方向へのベクトルの分解では無く、「発散に寄与する成分」と「渦に寄与する成分」の他に、「発散にも渦にも寄与しない成分」を加える必要があります。

 

発散にも渦にも寄与しない成分があることを含めて考えると、「発散にも渦にも寄与しない成分」は、「発散成分」と一緒になって「渦のない流れ成分」となります。流れに渦がなければ、速度ポテンシャルが存在し、「渦のない流れ」全体を表すことができます。この流れと渦だけの流れを合わせると、元の流れＡを表すことができます。

あるいは、「発散にも渦にも寄与しない流れ成分」を渦成分と合わせると、「発散の無い流れ」となり、この流れ成分と「発散のみの流れ」を合わせると元の流れＡを表すことができます。

実際の分解を現実に行っている気象関係者は、２）式に寄って「ヘルムホルツの分解」を行って、毎日の上層天気図の風を分解しています。その結果、「渦のない風の成分」から「速度ポテンシャル」を「発散のない風の成分」から「流線関数」を求め、毎日ホームページで公開しています。

その3に続く