流れベクトルの成分について

＜ヘルムホルツの分解定理＞

　流れの場の特性を表す量に「どれだけの速さでどちらに向かって流れてるか」と言うベクトルそのものの特性のほかに、「発散」と「回転（渦）」と言う量があります。

　ヘルムホルツの分解定理によれば、任意の流れFは、「回転の無い発散のみの成分」と「発散の無い回転のみの成分」に分解されることになっています。

すなわち、流れの場F（ｒ）は、

F（ｒ）＝∇Φ＋∇×A　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・１）

と言う式で示すことができるとされています。

∇Φを発散成分、∇×Aを回転（渦）成分と呼んでいます。

注：回転は渦とも呼ばれますが、ここでは、回転と言うことにします。

＜ヘルムホルツの分解定理で言う成分は成分ではない＞

　ベクトルとは方向と大きさをもった量で、その空間の座標軸方向の成分に分解できます。この座標軸方向の値が成分です。この成分は、ベクトルそのものの別の表現の仕方であって、個々のベクトルに対して定義できます。

　しかし、発散や回転は、その定義を見て分かりますように、１点だけに与えられたベクトルには、定義できません。空間微分によって定義されるこの量は、そのベクトルがその微小領域の中でどれだけ発散に、あるいは回転に寄与しているかを示す、寄与量です。決して成分ではありません。

　＜もしもそれを成分と言うのであれば＞

　発散や回転に寄与するその点のベクトルの寄与量を、強いて成分とするなら、その成分は、その微小領域の中で、「発散に寄与する成分」、「回転に寄与する成分」の他に、「発散にも回転にも寄与しない成分」と「発散にも回転にも寄与する成分」を考慮すべきです。

　すなわち、流れの場の中のある点における、発散、回転に関するベクトルの成分は、下図のように分解することができます。

＜任意の流れをベクトル場Fと考えると、∇Fと∇×Fは、くっついており、分離できない＞

　流体学者は、流れの場Fが存在するとき、∇・Fの場も∇×Fの場も計算できることをもって、これが「分解できた」と早合点しますが、「発散にも回転にも寄与する成分」があると、元のベクトルFは両方に寄与しているので、下図のように、∇・Fの場と∇×Fの場が分離できない「くっついた場」になっていて、Fが「発散のみの場」と「回転のみの場」に分解されていません。

流れに回転が無いと分かっている場合には、∇（∇・F)だけのネットになり、流れに発散が無いと分かっている場合には、∇×（∇×F)だけのネットになることが、数学的に分かっていますが、一つの流れの中に発散も回転もある流れでは、これらのネットはくっついていて、分離することはできません。

　

すなわち、ヘルムホルツの分解定理は、一般に流れの場には適用できないことが分かります。