ベクトル場の4つの成分について

　ベクトルが単独で存在するときのベクトルの成分とは、基準座標に分解されたそれぞれの値を言います。考えている場が2次元の面であれば、（ｘ軸、ｙ軸の）2つの基準軸方向成分、3次元の空間なら、（ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸の）3つの基準軸成分に分解して、ベクトルを表すことができます。普通、ベクトルの成分とは、この直交する基準軸方向の値のことを言います。

　しかし、ベクトル場が与えられて、今考えている点を中心にした微小な領域の中で、その点のベクトルが「どれだけ発散に寄与しているか」と「どれだけ回転に寄与しているか」に注目してベクトルの成分を考えるときは、次の４つの成分に分けて考えることができます。

イ．発散に寄与する成分

ロ．回転に寄与する成分

ハ．発散にも回転にも寄与しない成分

ニ．発散にも回転にも寄与する成分

イ）発散に寄与する成分

　発散に寄与する成分だけの具体的な例として、電界があげられます。電界の中に電荷を置くと、電界の傾きの方向に力が加えられますが、その力ベクトルは、回転に寄与しない発散のみに寄与する成分だけのベクトルになります。

ロ）回転に寄与する成分

　回転に寄与する成分だけの具体的な例は、磁界に電流を走らせると、この時電流が受ける力のベクトルは、回転のみのベクトル場になっています。この時、電流が受ける力のベクトルは、発散には寄与しない回転にのみ寄与する成分だけからできています。

ハ）発散にも回転にも寄与しない成分

　発散にも回転にも寄与しない成分は、一様流を考えると、簡単に分かります。2次元で考えて、何処においても、ｘ方向に５ｍ／ｓの速度で流れている流れの（ｙ方向は０ｍ／ｓ）場合、発散も回転も０ですので、この流れのベクトル場に「発散に寄与する成分」も「回転に寄与する成分」もありません。当然「発散にも回転にも寄与する成分」も0です。したがって、一様流の流れのベクトルは、発散にも回転にも寄与しない成分だけからなるベクトルでできています。

ニ）発散にも回転にも寄与する成分

　発散にも回転にも寄与する成分だけのベクトル場の例は、上げることができませんが、一般的な流れの場について、発散と回転を計算する式を極座標で考えると、両方に寄与する成分のあることを簡単に理解できます。下図は、極座標でベクトルを示した図ですが、その発散、及び回転の計算式も図の中で示しています。

 

　その点のベクトルＦを極座標（Ｆｒ、ＦΦ、及びＦθ）で表し、発散および回転を求める一般式を示すと、上図のようになります。すなわち、Ｆｒ、ＦθおよびＦΦのどの成分も、発散にも回転にも寄与していることを示しています。すなわち、一般的には、ベクトルは発散にも回転にも寄与する成分を持っていることが分かります。

 次回は「これら4つのベクトル成分とポテンシャルについて」書く予定です。