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ベクトル場とポテンシャル
力の場や流体の流れの場など、空間の位置座標にベクトルが対応して存在する場合、ベクトル場と呼んでいますが、基本的な数学的考察に寄り、ベクトル場に回転が無ければ、すなわち、ベクトル場が「発散に寄与する成分」と「発散にも回転にも寄与しない成分」だけからなるベクトル場には、スカラーポテンシャルが存在して、そのポテンシャルの勾配が、そのベクトル場を表すことができます。
をもつための必要十分条件」は
すなわち、ベクトル場がスカラーポテンシャルを持つためには、そのベクトル場の回転が０、すなわち回転の無いベクトル場でないといけません、と言っています。これが必要かつ十分条件であると言うことは、もしも、そのベクトル場に回転があれば、スカラーポテンシャルは存在しないことを言っています。
回転の無いベクトル場とは、「発散のみに寄与する成分」と「発散にも回転にも寄与しない成分」のどちらか、またはこの二つの組み合わせの場合だけにスカラーポテンシャルは存在することが示されています。模式図で示すと、下図のような場合です。
もしも、ベクトル場に回転に寄与する成分があると、スカラーポテンシャルは存在しないことを定理７．３は述べています。このことをよく覚えておいてください。
すなわち、ベクトル場がベクトルポテンシャルを持つためには、そのベクトル場の発散が０、すなわち発散の無いベクトル場でないといけません、と言っています。これが必要かつ十分条件であると言うことは、もしも、そのベクトル場に発散があれば、ベクトルポテンシャルは存在しないことを言っています。
発散の無いベクトル場とは、「回転のみに寄与する成分」と「発散にも回転にも寄与しない成分」のどちらか、またはこの二つの組み合わせの場合だけにベクトルポテンシャルは存在することが示されています。模式図で示すと、下図のような場合です。
もしも、ベクトル場に発散に寄与する成分があると、スカラーポテンシャルは存在しないことを定理７．５は述べています。このこともよく覚えておいてください。
以上のこと、すなわち定理７．３と定理７．５を合わせて考えると、元のベクトル場に回転があれば、スカラーポテンシャルが、発散があればベクトルポテンシャルが存在しないことは、高校生以上の思考力があれば分かります。
すなわち、「発散も回転もあるベクトル場にスカラーポテンシャルもベクトルポテンシャルも存在しない」ことは分かります。
定理７．３と定理７．５は数学的に全く基本的な定理で、誰も疑う人は居ません。
この二つの定理は、「ヘルムホルツの分解定理」を否定しています。
発散と回転がある流れには、スカラーポテンシャル（速度ポテンシャル）もベクトルポテンシャル（流線関数）も存在しませんから、元の流れの場を「発散流れの場」と「回転流れの場」に分解することはできません。
これらが独立して存在していると勝手に考えています。独立して存在すれば、それぞれ定理７．３及び定理７．５によってスカラーポテンシャル及びベクトルポテンシャルが存在することになります。
しかし、実際には、独立して存在することを証明していません。先の記事にも書きましたが、流れの場Fには、極座標で考えると明らかに発散にも回転にも寄与する成分が存在します。∇・Fと∇×Fのどちらにも寄与する成分があると、二つの（発散と回転の）流れの場は、くっついており、下図のようになっています。
もしも、発散流れと回転流れが独立しているなら、それぞれの計算で得られたベクトルがどの場所においても直交性を保つことを証明しなければなりません。何処ででも直交性を保っていれば、上のネットは互いに影響なく外すことができます。
流体学者の中には、それらが実空間上に直交していなくても「仮想の直交性」なりたっているので、構わないと言い放っています（下図参照。下図に示すコメントは、ある学者に、気象庁やNOAAが発表している速度ポテンシャルと流線関数の分布から得られる「発散風」と回転風」が直交してないのは、どのように考えられますか、と聞いた答えの一部です）。
彼らにはヘルムホルツの分解定理が初めにあって、先天的に成り立っていると言うのです。全く馬鹿馬鹿しい定理があったものです。ベクトルの全く基礎的な考え方の一つである「直交性」をゆがめてまで、ヘルムホルツ教の経典を信じている人たちです。
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Helmholtz Decomp
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