これまでに頂いたコメント（反論）について ( 気象学 ) - Helmholtz Decomposition Theorem

これまでに頂いたコメント（反論）について

　私の「ヘルムホルツの分解定理は間違っている」という記事にいくつか、反論を頂きました。これまでに反論を下さいました方々にお礼を申し上げます。

　反論に反論すると言うことは、頂いた先生方の考えと違うことを言い連ねて、先生方の感情を逆なですることになるので、これまで、記事にすることを控えてきましたが、全く学問的な意向により良かれと思って敢えて掲載したいと思います。

以前、すでに取り上げさせて頂いているモノもあるかもしれませんが、反論に対する反論という意味で、再度取り上げさせて貰って居る記事もあるかと思いますが、お許し下さい

１．mm2*p*さんのコメント

頂いたコメントの一つは、

まず、この方の、

「流れ場は、一般的に非線形方程式で記述されるためベクトル場ではなく、何らかの近似やモデル化によりベクトル場とみなされます．現実の流れ場がベクトル場を成していないことは明らかです」

というのは、ベクトル場という言葉をポテンシャルのある場という言葉に代えると、私と同じ考え方になります。「ベクトル場」の考え方が、少し世間とは違っていますが、基本的にはこの方の考え方は、かなり私の考えに近い考え方です。

　私の考え方の基礎的な間違いと言われますが、流体の速度ベクトル場と電磁ポテンシャル場との違いが分からない人に、基礎的な間違いと言われたくないですね。ベクトル場についてもう少し一般的な考え方について勉強して、ポテンシャル場との違いを勉強してほしいものです。

　この人に限らず、現代のベクトル関係者は、∇×ＦをＦの「回転」と考えて居ますが、正しくは、この式は「ずれ」の式です。ヘルムホルツの”うずい”となどに、頭を混乱させられた現代の学者さんには、ずれと回転の区別がつかないのも道理かもしれませんが。このことについては、後日纏めて示します。

＜２．さる大学の先生から頂いたコメント。

さる大学の先生から次のようなコメントを頂きました。

　この先生の間違いは、「境界において法線成分と接線成分が与えられると、境界における速度ポテンシャルと流線関数が得られる」と考える点にあります。

　境界で接線成分や法線成分が分かっても、その点のポテンシャルの値は得られません。何か大きな勘違いをしています。境界の1点だけのベクトル値でその点のポテンシャルは決められません。

　特定の境界線における接戦成分や法線成分は、何の意味もありません。その点を通る境界線はいくらでも引くことができます。Wikpediaiなどにヘルムホルツの定理の記事を書いて居る人の中にも、接線成分、法線成分が発散成分、回転成分と勘違いしている人が居ますが、点におけるベクトル値だけで発散や”回転”が決まることは無く、ポテンシャル値も決めることはできません。

　電磁波の現象のように、ポテンシャルのあることが分かっているポテンシャル場であれば、各点にポテンシャルが得られますが、一般的に流体の中にポテンシャルがあると言うのは、現代の流体力学の間違いです。

また、同じ先生が、次のようにも述べられて居ます。

　これまで、何人かに同じことを言われてきましたが、非常に簡単な理屈がなぜ分からないのか、私には、全く理解ができません。

　渦があれば速度ポテンシャルが無く、発散があれば流線関数が無いことがわかって居れば、両方あれば速度ポテンシャルも流線関数も無いのは、当たり前ではありませんか。

＜３．通りすがりさんからのコメント＞

この方と、同じ指摘と思われるコメントをアメリカのドクターに質問したらコメントを頂きました。併せて掲載させて頂きます。

　こちらの先生は、私にフーリエ変換後の・・と難しいことを言ってもどうせ理解できないだろうと、an abstract mathematical orthogonality と言ってくれています。通りすがりさんと同じく、共に現実のベクトルの分解とは関係なく、数学のある領域で「直交性が保たれているので、ヘルムホルツの分解定理は正しい」と言われています。

　現実のベクトル場での分解を行うために用いられるヘルムホルツの分解定理であるのに、「現実世界での直交性は無視できる」との考え方は、正しいと言えるのでしょうか。

　ヘルムホルツの分解定理の説明に、ベクトル成分の級数展開やデルタ関数を用いて、無理矢理ベクトルを分解する説明が英文Wiki などにもあげられています。が、それには，二つの問題点があります。

　一つには、点に与えられたベクトルだけではいくら高級な級数展開を行っても空間微分で得られる∇×Fと∇・Fの計算はできません。点のデータだけでいくらデルタ関数を使っても空間微分値が出ると考えるのは間違っています。そのベクトルにポテンシャルが存在していて、そのポテンシャルが分かっている場合には可能ですが、一般にベクトル場にポテンシャルのあることは保証されていません。

　もう一つは、∇×Fと∇・Fの計算のどちらにも寄与する成分があるため、それぞれの計算を行っても、分解はできていないことです。