Helmholtz Decomposition Theorem

流体力学の学者の常識

ある大学の先生が私の先の記事に対して、

 

＜２−１：　渦のない流れ＞と＜２−２：発散が無い流れ＞は、渦度と発散のどちらかがゼロの時にポテンシャルが存在することを示しただけで、両方ともゼロでないときにポテンシャル（スカラーとベクトルポテンシャルの和）が存在しないことを証明したわけではありません。

 

とのコメントをくれました。

 

　私のブログに書いているように、流れに渦があるとスカラーポテンシャルは存在しません。また流れに発散があるとベクトルポテンシャル（流線関数）は存在しません。この二つの事は全ての学者が了解しています。それが分かっておれば、流れに渦と発散があれば、スカラーポテンシャルもベクトルポテンシャルも無いと言うことは、ヘルムホルツの分解定理という先入観さえ持たなければ、中学生にでも分かることです。

　流れの場Fがあれば、∇・Fと∇×Fは、ヘルムホルツの分解定理（以後ここでは単に”この定理”と言います）が無くても流れの場の任意のところで計算ができ、、∇・Fと∇×Fの場が計算によって得られます。

　この二つの場が計算できるというだけだ、それぞれの場が独立して存在していることにはなりません。流れの場Fから、「発散が∇・Fで示される流れの場」と「渦（回転）が∇×Fので示される流れの場」に分割されて存在していることを証明して初めてこの定理が証明されたと言えます。

　例えば、下図のように、∇・Fの計算に寄与するFの成分と∇×Fの計算に寄与するFの成分が明らかに分割されていることが分かれば問題はありません。

図１　流れが発散だけの成分と渦だけの成分からできているとする考え方

　しかし、一般に流れには発散に寄与する流れと渦に寄与する流れのほかに、一様流のように「どちらにも寄与しない流れの成分」や「どちらにも寄与する流れの成分」があるのではないかと、疑って考えるべきです。

図2　流れには渦にも発散にも寄与しない成分、両方に寄与する成分がある

　「どちらにも寄与しない成分」があることは、ポテンシャルの存在には影響しません。発散成分とくっつけて、「渦の無い流れ」として処理し、速度ポテンシャルを求めることができます。あるいは、渦の成分とくっつけて、「発散の無い流れ」としてベクトルポテンシャルを求めることができます。

　「どちらにも寄与する成分」が無いことを証明できれば、この定理を証明したことになりますが、そのような証明を見たことがありません。

　∇・Fが０でなければ、この流れに発散が存在していることが分かり、ベクトル関数が存在しないことが分かります。∇×Fが０ベクトルでなければ、この流れに渦が存在することが分かり、スカラーポテンシャルが存在しないことが分かります。すなわち、両方ともゼロでないときは、スカラーポテンシャルもベクトルポテンシャルも存在しないことが分かります。

　この二つの誰にも受け入れられている事実があるのに、、「両方ともゼロでないときにポテンシャル（スカラーとベクトルポテンシャルの和）が存在しないことを証明したわけではありません」というのは、彼らが、はじめから元のベクトルFを発散だけの成分∇（∇・F）と渦だけの成分∇×（∇×F）だけからできていると、図１に示すように考えているからです。

　もしも、図１のように実際の流れがなっているなら、実際の風を渦だけの流れと発散だけの流れに分解すると、それらは直交しているはずですが、気象庁ほかNOAAなどが、この定理を利用して２００ｈPaや８５０ｈPaの風を「発散のみの風」と「渦のみの風」に分解している図を見ると、直交はしていません。

　ところで、なぜ無いはずの速度ポテンシャルや、流線関数が計算によって求められるんか、私の考えに疑問を持つ人が多いと思います。

　先にも言いましたが、∇・Fと∇×Fは、流れが分解できなくても求められます。本当は、これらの分布は互いに重なり合って、それぞれの成分を共有しながら、存在しているのですが、この二つ∇・Fと∇×Fが独立して存在すると勘違いさえすれば、速度ポテンシャルも流線関数も求めることができます。その結果が気象庁やNOAAが出しているそれらの資料です。

　

　このことについて、「流れの場」を「入れ物」にたとえてブログのmistake 2

に示しています。日本の馬鹿な学者を相手にしてもしょうが無いと諦めて、つたない英語で書いたものですが、未だに分かる人が出てこないです。（僕の英語が分からないのかも）

このブログでは、

全ての流れの場を入れ物に例えてこの事を説明しています。

あるところの入れ物（流れの場）を調べると、形は、四角い箱（渦の無い流れ）か円筒形の箱（渦のある流れ）しかない事が分かりました。そして、全ての四角い箱には綿飴（スカラーポテンシャル）を入れました。円筒形の箱には綿飴を入れません。これが＜２−１＞で示されている事柄です。

次にそれらの入れ物の色を調べますと、黒い（発散のある流れ）箱か、赤い（発散が無い）箱しかない事が分かりました。そして、全ての赤い箱には、星形の飾り（ベクトルポテンシャル）を入れ、黒い箱には星飾りを入れませんでした。これが＜２−２＞で述べている事柄です。

 

そうすると、円筒形の箱には（渦があると）綿飴（スカラーポテンシャル）が入って無く、黒い箱（発散があると）には、星形の飾りが入っていません。

この場合、円筒形で黒い箱には、綿飴も星形飾りも入って居ないことは、小学生でも分かると思いますが、この大学の先生の言うところによると、円筒形の箱には綿飴が入ってなく、黒い箱には星形の飾りが入って無いと言えるだけで、円筒形で黒い箱には、両方とも入って居ないとは言えないのだそうです。

この考え方は、この先生だけでなく、流体力学の学者の常識になっています。こんなの変な常識だと私は思います。

おとうさん！こんな簡単なことが、世の頭の良い流体学の先生方に分かってもらえません。どうしてなんでしょう？

発散は領域のない点に与えられない

Divergence

＜ベクトル場の境界においてポテンシャルが得られることはない＞

東大の先生初めヘルムホルツの分解定理を信じて居る人の中には、ベクトル場に境界を取ってその内部で発散と回転が与えられ、境界で法線成分と接線成分が与えられると、ベクトル場が一つに決定できるとしています。その説明の中で、境界における法線成分と接線成分が分かると速度ポテンシャルや流線関数が分かると考えて居ます。たとえば2次元（3次元）におけるベクトルについて、境界と言う線（面）上における発散や渦（回転）を求めることができないので、その点におけるポテンシャルは分かるはずはありません。

まさか、法線成分が発散成分であるとか、接線成分が渦（回転）成分であるとかは考えて無いとは思いますが、・・・。もしもそう考えて居るなら、その境界内のある点を通る別の境界を考えると、その点のベクトルは別の「法線成分」と「接線成分」が引かれることになり、同じ点での「発散成分」、「渦成分」がいくらでも存在することになります。

一点におけるベクトル値で発散成分、渦（回転）成分が分かると考える考え方と同じような間違いの例に、飛んでいる矢は止まっていると考えるゼノンのパラドックスと言うのがあります。

＜境界で発散、渦を求めることは、ゼノンのパラドックスと同じ＞

ゼノンのパラドックスは、飛んでいる矢の、考える時間を無限に小さく考えて、時間の経過が瞬間のつながりと考えます。そして、各瞬間瞬間に矢は「そこに止まっている」と考える間違いです。これは「止まっているかどうか」は速度＝位置／時間で考えるべきであるのに、分母の時間を０にもって行くことによって、速度が不定になり、速度が考えられなくなって、「位置」の情報で「位置／時間」の代わりを考える間違いです。

 

境界で2次元の発散や回転を考えることは、2次元の平面の微分を考える必要があるのに線上で、即ち点上で考えて居ます。空間微分で考える必要のある問題を空間を０に近づけて、微分を不定にしてしまっています。発散成分、回転成分を求めるためには、「その点の周辺の発散量の分布」「回転量の分布」が分かる必要がありますが、求めるための微分計算の分母を０にして考えるため、微分が不定になり、「法線成分」を「発散成分」と、「接線成分」を「回転成分」と混同してしまうなどの間違いをしていると考えられます。ヘルムホルツの分解定理を信じて居る人の多くが、この同じ間違いをしています。

境界において法線成分と接線成分が決まっても、境界における発散成分や渦（回転）成分が分かったり、速度ポテンシャルや流線関数（ベクトル関数が）決まったりすることはありません。

＜この定理は非常にナイナーな定理＞

何度も言っているかもしれませんが、この定理と言われているヘルムホルツの分解は、実際にこの定理を使って「分解している」分野はごく限られおり、マイナーな定理です。しかし、気象学のある分野では、この”定理”が用いられ、2次元の風を「速度ポテンシャル」から得られる発散成分風と「流線関数」から得られる渦成分風に分解し、大気の立体構造の研究を行っているます。

その実際は、近似的に分解され、いかにも正しい様にも見えるのが問題で、定理が正しいとして、「発散のみの風」で収束・発散を考えて居る間違った大気循環理論がまかり通っています。大気の大循環を考える時、重要になる収束・発散は地衡風と非地衡風に分解して考えることもでき、その分解には何の疑いもありません。非地衡風理論で得られる循環の考え方とヘルムホルツの分解で得られる速度ポテンシャルで考える循環の様子はかなり違った結果をもたらしています。

この定理を信じている他の分野では、電磁気学があり、電磁波の構造に関係していると考えられていますが、電磁波にこの定理は全く必要ありません。

電界（スカラーポテンシャル）と磁界（ベクトルポテンシャル）はもともと存在するもので、互いに時間を追って交互に相手を直交するように生成すると言うことを、マックスウェルの電磁方程式が説明しています。ヘルムホルツの分解定理には時間項は入っていません。

電磁気学者でヘルムホルツの定理を信じて居る人たちは、一度も実際の任意のベクトル場を分解した経験はありません。

そのほかの分野でこの定理を必要とすることはありません。そのことがこの間違った定理を長く正すことができなかった原因と考えられます。

英文WikiのHelmholtz Decompositionの記事について

 　英文Wikipedia　に「Helmholtz decomposition」の記事があります。その中に“Longitudinal andtransverse fields　”という記事が見られ、ヘルムホルツの分解定理を説明したものの一つに上げられていますが、この記事は明らかに間違っています。

　位置ｋにおけるベクトル関数Fを、ｋに対して延長方向成分（longitudinal component）と直行する横方向成分（transverse component）に分解し、これとベクトルｋとの間に内積および外積を取ると、

図１　位置ｋにおける縦成分Ｆｌと横成分Ｆｔ

　確かに上の式

F（ｋ）＝F_ｔ（ｋ）＋F_ｌ（ｋ）　　　　　　　・・・・１）
ｋ・F_ｔ（ｋ）＝０　　　　　　　　　　　　　・・・・２）

ｋ×F_ｌ（ｋ）＝０　　　　　　　　　　　　　・・・・３）

は成り立ちますが、

下の式

F（ｒ）＝F_ｔ（ｒ）＋F_ｌ（ｒ）　　　　　　　・・・・４）
∇・F_ｔ（ｒ）＝０　　　　　　　　　　　　　・・・・５）

∇×F_ｌ（ｒ）＝０　　　　　　　　　　　　　・・・・６）

は成り立つのでしょうか。

４）から６）式は、１）から３）式の位置ベクトルｋを微分演算子∇で置き換えた式になっていますが、位置ベクトルｋと微分演算子∇とは全く違います。

 

　もしも、４）〜６）式が成り立つとすると、４）式の両辺に∇・をかけて

∇・F（ｒ）＝∇・（F_ｔ（ｒ）＋F_ｌ（ｒ））

=∇・F_ｔ（ｒ）＋∇・F_ｌ（ｒ）＝０＋F_ｌ（ｒ）

　これはすなわち、ｒにおけるベクトル関数Ｆの発散は、縦成分（longitudinal）によるだけで良いと言っています。

　また、４）式の両辺に∇×をかけると

∇×F（ｒ）＝∇×（F_ｔ（ｒ）＋F_ｌ（ｒ））

=∇×F_ｔ（ｒ）＋∇×F_ｌ（ｒ）＝∇×F_ｔ（ｒ）＋０

　となり、これはｒにおけるベクトル関数Ｆの回転は、横成分（transverse）によるだけで良いと言っています。

　しかし、これらが間違っていることは、極座標でFの発散、回転を考えると明白にわかります。

　極座標で、発散を表すと上の図中に示すように、横座標であるF_θとF_φが含まれており、回転の式には縦座標であるＦｒも変数に使われています。

これらは４）〜６）の式が間違っていることを示しています。

通常のベクトルの分解とHelmholtzの分解との違い（３）

＜ヘルムホルツの分解の実際＞

　

　気象庁は、「ヘルムホルツの分解定理」を用いて、特定の気圧面の、いわば平面の風を、「発散成分のみの風」と「回転（渦）成分のみの風」に分解して、それぞれ「速度ポテンシャル」と「流線関数」を求め、発表しています。

 

　私の知る限り、ヘルムホルツの分解を日常的に応用している機関は、気象庁はじめ世界の気象機関だけです。

 

　気象庁の公表している速度ポテンシャルと流線関数の例を見てみましょう

図１は、2016年7月の月平均の速度ポテンシャル（上）と流線関数（中）です。

 

 　図１の（下）には、速度ポテンシャル（赤線）と流線関数（青線）の等値線を重ねて書いて居ます。

図１　速度ポテンシャル（上）と流線関数（中）；2016年7月の月平均図

 

　流線関数とは、本来ベクトル関数であり、方向と値を持つ関数ですが、方向としては紙面に直角に上向きに決めており、「流線関数」の分布図は、その値のみの分布を示しています。したがって、流線関数も現実的にはスカラー関数として扱うことができます。 

　二つの月平均図は、同じ期間のスカラーデータの平均値なので、速度ポテンシャルの図から得られる「回転（渦）の無い、発散成分の風」と、流線関数の分布図から得られる「発散の無い、回転（渦）成分の風」は互いに直交する筈です。

 

　速度ポテンシャルから得られる発散成分の風（以後、ここでは発散風と言います）は、等値線間隔に逆比例して、速度ポテンシャルの等値線に直角に値の低い方に（定義により高い方に）吹きます。

　流線関数から得られる回転成分の風（以後、ここでは回転風と呼びます）は、流線関数の等値線間隔に逆比例して、流線関数に平行に、値の高い方を右（定義により左）に見て吹きます。

図２　発散成分の風と回転成分の風

 

　したがって、分解された二つの成分風がヘルムホルツの分解定理に従って、互いに直行しているなら、二つの関数の等値線は互いに平行になっているはずです。

　ところが、図1を見て分かるように、気象学でヘルムホルツの分解定理を信じて分解している定圧面の風を、発散風と回転風に分解した風は互いに直交はしていません。

　これは、ヘルムホルツの分解定理が間違っていることを示している証拠と思います。

 

　横道に逸れてしまいますが、一般に流体力学を学習するテキストでは、その初期に「ポテンシャル流れ」を学びます。つまり「回転（渦）の無い発散だけの流れ」についての２次元流れを示す図をよく見かけます。この場合は、「速度ポテンシャルの等値線と流線関数の等値線が直交して居る図」になっています。

 

　これは、「回転（渦）の無い発散成分だけの流れ」は、当然のことながら「速度ポテンシャル」の分布図で現すことができます。そして、そして“その同じ流れ”を、回転（渦）が０であることを示す「流線関数」の分布図で示すこともできる、と言うことを示しています。その場合、それら「速度ポテンシャル」と「流線関数」は互いに直交していることを示す図になっています。

 

　ヘルムホルツの分解定理では、発散も回転もある流れを、「発散成分だけの流れ」と、「回転成分だけの流れ」に分解して、それぞれを「速度ポテンシャル」と「流線関数」で現すので、初等の流体力学のテキストに多く出てくる馴染みのあるポテンシャル流（回転なし流れ）の図とは全く違ったものになっていますので、注意が必要です。

 

　図1の発散風と回転風が直行していないことについて、気象関係者は、「互いに直行していなくても、発散成分の風と回転成分の風は、互いに他に関係なく吹いている」と言います。

 

　これは、数学のベクトルという基礎概念を無視した大変無茶苦茶な考え方です。信じられないくらい馬鹿げたこの考え方が、これが気象学者の常識になっています。

 

　一方、Wikiなどに「ヘルムホルツの分解定理」の記事を書いている人の大半は、電磁気学（電磁波を取り扱っている）の人たちで、「ヘルムホルツの分解定理で分解された二つの成分は直交している」ことを疑いません。

　彼らは学問上、そのようになっていると信じていますが、一度も実際に「発散と回転を含む任意のベクトル」を分解したことはありません。分解されて出来上がっている（と信じている）電界と磁界の組み合わせを、元のベクトルが何かを知ることもしないで、ヘルムホルツの分解でできたベクトルの組み合わせと考えているだけです。このことについては、最後にもう少しコメントいたします。

 

＜発散にも回転（渦）にも寄与する成分の存在について＞

 

　何故、気象庁の出している「速度ポテンシャル」から得られる「発散成分」の風と「流線関数」から得られる「回転成分」の風は、直交性を示さないのでしょうか。

 

　前の記事、「通常のベクトルの分解とＨｅｌｍｈｏｌｔｚの分解との違い（２）」において、「発散にも渦にも寄与しない成分」を考えましたが、実は、「発散にも渦にも寄与する成分」もあるからです。

図３　任意のベクトルＡが発散と回転（渦）の両方に寄与する成分を持っている場合

 

　元のベクトルＡが発散にも回転にも寄与する成分があると、分解されたと考えられるスカラー関数Φにもベクトル関数Ｘにも、両方に寄与してしまい、「発散にも回転にも寄与しない成分」をどちらにくっつけて処理しても、

Ａ≠∇Φ＋∇×Ａ＋「発散にも回転にも寄与しない成分」

となります。

 

　私は、実際に「ヘルムホルツの分解作業」をやったことはありませんが、もしも回転成分だけから流線関数を取り出したら、とんでもなく複雑な等値線になることが考えられます。今の気象庁やＮＯＡＡが出している流線関数の単純さは、「発散にも回転にも寄与しない成分」の寄与が大きいものと考えられます。実際の風の成分は、この「発散にも回転にも寄与しない成分」の比率が大きいからです。

 

 

＜発散にも回転にも寄与する成分の存在＞

もう一度、発散と回転（渦）を求める図と式を図4に示します。 

図4　ベクトルＡの発散と回転（渦度）を求める図と式

　図４は、ベクトルAの発散と回転を求めるため、ベクトルＡをｘ方向のＵとｙ方向のＶに分解し、それら分解された成分をすべて使って、発散か回転かのどちらかにのみ寄与することが示されています。例えばV３はＡの発散にしか寄与しないし、V４は回転にしか寄与しないと考えられます。

　すなわち、ベクトルAは、U_１〜４、とV_１〜４に完全に分解され、ぞれらのすべては発散か回転かのどちらかにしか貢献していないことを示しています。

　このことからも、「任意のベクトルＡは発散のみのベクトルと回転のみのベクトルに分解できる」というヘルムホルツの分解定理が信じられているのだと思います。

　しかし、例えばV３とV４は中央の点のごく近い近傍の値で、互いに独立ではありません。

　もし、このベクトル関数Ａが（即ち、ベクトルＡの成分であるＵとＶが）滑らかに分布していて、全微分が可能であれば図５に示すように、互いに深い関係を持っています。V４はこの位置のベクトルとしてＡの回転にのみ寄与しますが、その前にV３として発散に寄与してきています。

図５　ベクトルＦが全微分可能であると

　同じように、奇数番号点（１，３）のＵはその位置のベクトルとしては、回転のみに寄与しますが、発散に寄与する偶数番号点のＵと密接な関係を持っているため、回転のみでなく発散にも寄与していると考えられます。

　この節の初めに見た気象庁の速度ポテンシャルと流線関数から得られる「発散風」と「回転風」が直行しない理由は、ヘルムホルツの分解定理が間違っているからです。

　現代の気象学では、大気の発散収束は速度ポテンシャルだけ見ればわかると、されていますが、実際には、流線関数から得られる回転風が「発散風」と直交していないので、回転風の中に発散風の成分が「数学的にあきらかに」含まれており、大気の循環を発散風だけで議論することはできないと言わざるを得ません。

＜追記１＞

気象学的に風の分布から「収束・発散分布」は重要な解析資料になります。そのためには、ヘルムホルツの分解定理でなく、地衡風と非地衡風に分解することをお勧めいたします。

　発散・収束解析は、解析風から地衡風をベクトル的に引いた非地衡風成分を解析することによって簡単に解析できます。

＜追記2＞

電磁気学の電磁波を扱う人たちの中にも、このヘルムホルツの分解定理が正しいと信じている人たちがいます。

電磁気学の関係者は、現実には、一度も任意のベクトルを分解したことがなく、「ヘルムホルツの分解定理」に従って、理論的に「分解された」発散成分のベクトル（電界）と回転成分のベクトル（磁界）が直交して居ると信じて疑いません。

Maxwellの電磁方程式の一つは、電界の時間変化が、その電界の面に直交する面内に磁界を生じさせる式になっており、他のもう一つの式は、磁界の時間変化が、磁界の面に直交する（電界の面）に新たに電界を生じさせるという式になっていて、微少時間後に互いに直交する面に「発散だけの電界」と「回転だけの磁界」を作り上げていくという式になっています。

つまり、「渦の無い電界」の時間変化が、その電界面と直交する面に微少時間後に「発散の無い磁界」を作り上げ、「発散の無い磁界」の時間変化が、その磁界面と直交する面に微少時間後に「渦の無い電界」を作り上げることを示しています。

「ヘルムホルツの分解定理」には、時間の項は含まれていませんが、Maxwellの電磁方程式では、時間の変化が重要です。これらは全く違う世界を表しています。

Maxwellは、その矛盾が解決できず、一つのまとまった電磁気学をかけなかったのではないかと思いますが、それを「矛盾」に気が付かないヘビサイドがまとめたのが、今の電磁気学ではないかと思います。今の電磁気学は、まだ見直すべき内容を含んでいますので、これからの若い人にその矛盾を解決してもらいたいと思います。

 

 

 

通常のベクトルの分解とHelmholtzの分解との違い(2)

元のベクトルを余すところなく全て分解し、そのうち半分は発散計算に、残りの半分は渦の計算に用いられたのですから、１）式が正しいと考えるかもしれません。しかし、それぞれの成分の中に発散にも渦にも寄与しない成分はあります。

 

ベクトルAを流れのベクトルとすると、発散は、２次元では

∇・A＝∂U／∂ｘ＋∂V／∂ｙ

で表されます。

このうち、ｘ方向の成分Uによる発散を示すと下図のように

示すことができます。

上図は点ｏにおけるU成分による発散を求めるための模式図です。点ｏからΔｘ／２だけ大きい点をP4、小さい点をP2とし、それぞれの点におけるＡのｘ成分を、Ｕ４、Ｕ２とすると、点ｏにおけるＵ成分による発散量は（Ｕ４−Ｕ２）／Δｘとなります。

ここで点ｏにおける微小領域で定常流Ｕ２と発散成分に分けて考えます。Ｐ２におけるＵ＝定常流Ｕ２＋０、Ｐ４におけるＵ＝定常流Ｕ２＋（Ｕ４−Ｕ２）と考えると、点ｏのＵ成分による発散量は、

（＜定常流＋（Ｕ４−Ｕ２）＞−＜定常流＋０＞）／Δｘと考えることができます。

ｙ方向の成分Ｖについても、図は省略しますが、同じ考え方ができ、定常流と発散成分に分けて考えることができます。

また、同じように、渦に寄与しない成分を考えることができます。

今考えて居る点の近傍（P₁,P₂,P₃,P₄）のベクトルで渦や発散を考える時、「中心ｏ」からの放射線に対して「直交成分Ｕ_１，Ｖ_２，Ｕ_３，Ｖ_４」が回転を与える事は分かりますが、その成分の全てが「回転成分」になるのでは無く、「回転」に寄与しない成分があることは上の図に示す通りです。

 

即ち、ヘルムホルツの分解は、すべての成分が完全に分解しきってしまう、いわゆる通常の2方向へのベクトルの分解では無く、「発散に寄与する成分」と「渦に寄与する成分」の他に、「発散にも渦にも寄与しない成分」を加える必要があります。

 

発散にも渦にも寄与しない成分があることを含めて考えると、「発散にも渦にも寄与しない成分」は、「発散成分」と一緒になって「渦のない流れ成分」となります。流れに渦がなければ、速度ポテンシャルが存在し、「渦のない流れ」全体を表すことができます。この流れと渦だけの流れを合わせると、元の流れＡを表すことができます。

あるいは、「発散にも渦にも寄与しない流れ成分」を渦成分と合わせると、「発散の無い流れ」となり、この流れ成分と「発散のみの流れ」を合わせると元の流れＡを表すことができます。

実際の分解を現実に行っている気象関係者は、２）式に寄って「ヘルムホルツの分解」を行って、毎日の上層天気図の風を分解しています。その結果、「渦のない風の成分」から「速度ポテンシャル」を「発散のない風の成分」から「流線関数」を求め、毎日ホームページで公開しています。

その3に続く