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の数式で示されていますが、この式は単純な間違いをしています。
普通のベクトルの分解では、例えば、ある方向の流速を東西成分と南北成分に分解すると、元のベクトルは、すべて分解された成分に余すところなく分解されます。
しかし、ヘルムホルツの分解定理を示す１）式の右辺第1項は、元のベクトルAの発散成分を取り出して、その発散に寄与する成分のみを示しており、右辺第2項は、ベクトルAの渦成分を取り出して、その渦（度）に寄与する成分のみを示す式になっています。
１）式が、ヘルムホルツの分解定理を示していると考えることは、元のベクトルが「完全に発散成分と渦成分のみ」からできているベクトルについてのみ正解です。
電磁波を扱う人たちは、電磁波がその通りになっているものですから、１）式を信じて疑いませんが、「分解定理」を用いて彼らは分解したことはありません。
もしもベクトルＡに「発散にも渦にも寄与しない成分」が含まれている場合には、１）は不十分と言うか、間違っています。
正しくは、
・・・・・・２）
とすべきです。２）式のイメージを図にすると下図の通りです。
一般的には、ベクトル関数には発散にも渦にも寄与しない成分があります。単純明快な例として、一様流を考えて下さい。
上の２）式の左辺ベクトルAが一様流だとすると、ヘルムホルツの分解定理を示すとされる１）式では、右辺の第1項も、第2項も０になりますから積分常数を考えても、∇φも∇×Xも０ベクトルになります。元のベクトルAは明らかに０ベクトルではありませんから１）式は間違っており、２）式が正しいと考えるべきです。
一様流でなくても一般にベクトル関数は、発散にも渦にも寄与しない成分を含んでいます。ベクトルＡのある点における発散∇・Ａと渦∇×Ａの計算をするための差分計算のモデルを下図に示します。
図の中心におけるベクトルＡの発散と渦を計算します。
発散や渦を求めるためには、図の右に示す式に示す通りで、この点におけるベクトルＡをｘ方向成分Ｕとｙ方向成分Ｖに分解して、それぞれの成分のｘ方向とｙ方向の微分を用います。このときのベクトルの分解は、通常のベクトルの分解ですから、Ａは余すところなく全てがベクトルＵとベクトルVに分解されています。
そして、発散を求める式に出てくるベクトルは、図の青い矢印で、渦を求める式に出てくるベクトルは赤い矢印で示しています。全ての赤い矢印や青い矢印は、発散または渦の計算のどちらかに必ず使われていますので、もとのベクトルＡの全ての成分が発散または渦の計算に使われています。
しかも、発散計算に使われる青いベクトルは中心の点から出入りする（longitudinalな）方向になっていて、全く渦に寄与しない成分です。
逆に赤い矢印は中心からの放射線に直角な（transversalな）方向で発散には寄与しない成分になっています。
これは、１）式が正しいことを意味するのでしょうか。
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科学ジャーナリストの皆さんへ
科学ジャーナリストの皆さんに是非調査して欲しいことがあります。
ヘルムホルツの分解定理というのがあって、気象学や電磁気学・光学関係の学者の間で、信じられています。
この定理の意味するところは、「任意のベクトル関数」が、発散だけのベクトル関数と渦だけのベクトル関数に分解でき、それらの分解されたベクトルは互いに直交しており、相手のベクトル関数に影響を与えない。」というものです。
電磁気学の関係者は、この定理によって分解された二つの成分、つまり 「渦だけあって、発散の無いベクトル」 と 「発散だけあって、渦の無いベクトル」 は互いに直交して居る筈と考えて居ます。理論的には直交して居ないと「互いに他に影響されない成分」ではあり得ないからです。
しかし、気象学の分野では、実際にこの「ヘルムホルツの分解定理」を使って、「発散だけあって、渦の無いベクトル」と、 「渦だけあって、発散の無いベクトル」 に分解して、それらが直交していない ことを知っています。
電磁波の場合は、発散だけのベクトル関数として電界が、渦だけのベクトルとして磁界があって、互いに直交していると言う事実を知っていますが、これらの渦だけのベクトル関数と発散だけのベクトル関数が何から分解されたのか、元のベクトル関数が何か知っている人はいません。
電磁気の関係者は、この定理を「理論上」知っていますが、実際に「分解」という作業をやったことがありません。電磁波の電界と磁界は、何かのベクトルを「分解」してできたもので無く、もともと物理現象として現存している現象です。
一方、流体力学、特に気象学の関係者は、現実的に「ヘルムホルツの分解定理」を使って、渦も発散もある風を“分解”して、「発散だけの風」の成分から「速度ポテンシャル」を毎日発表しています。NOAAでも数日の平均値をVelocity Potentialとして発表しています。
また気象庁は「渦だけの風」の成分から「流線関数」を発表しており、NOAAでは、１１日平均値など (Velocity Potential)」を公表しています。
そして、この二つの成分が直交して居ないことは周知の事実です。興味があれば、上の「速度ポテンシャル」と「流線関数」の分布図をご覧下さい。発散風は「速度ポテンシャル」に直交して居るし、渦のみの風は「流線関数」に平行になっていますので、もしも、両者が直交しておれば、「速度ポテンシャル」（下図で青線）と「流線関数」（下図で黒線）はどこにおいても互いに平行に走っているはずです。
私の知る限りでは、「ヘルムホルツの分解定理」を実際に使っているのは、気象学のこの一分野だけだと思います。
一つの定理に関して、ある分野では二つのベクトルが直交して居るはずだと言い、他の分野では、直交して無くても問題にしていません。いったい、この定理で分解した二つの成分は、直交しているべきなのでしょうか。あるいは直交して居る必要は無いのでしょうか。
科学ジャーナリストの皆さんに、私の言っていることが本当かどうか、調べていただきたいのです。「定理」と言われているこの事柄の真実を調査することは、科学の進歩に貢献でき、良い記事ができるはずです。どちらの言い分が正しいのか、あるいはどちらも間違っているのか、調べていただきたいと思います。
2016年８月15日 光藤高明
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私が電磁気を勉強し直したのは、ヘルムホルツの分解定理が間違っていることを記事にすると、反論の多くが電磁気学や光学の関係者からありました。電磁気学でも「ヘルムホルツの分解定理」を利用していることがあるのでしょうか。
それに寄りますと、
∇・B＝０から磁界Bを表すことのできるベクトルポテンシャルA（B＝∇×A）が存在し、
アンペールの式（∇×E＋∂B／∂ｔ＝０）と磁界を表すこのベクトルポテンシャルを用いて、∇×（E＋∂A／∂ｔ）＝０が導かれるので、このベクトル（E＋∂A／∂ｔ）は、
渦の無いベクトルであり、スカラーポテンシャルφが存在する、と言っています。
電磁気方程式とは面白い方程式群です。この渦の無いベクトルを導き出すスカラーポテンシャルφは、渦ベクトルポテンシャルを導き出すベクトルAに依存して居ると言うのです。私のように頭の悪い平凡な人間は、この時点で「何かおかしい」と思うのですが、電磁気学を学んだ偉い先生方は、何の抵抗もなく、この式が理解できるようです。
電磁方程式は、私のように単純な頭の持ち主には分からないところがいっぱいありますが、私が調べたところでは、彼らに「ヘルムホルツの分解定理」という「分解」に関する定理は必要無い様に思います。
実は、現在「Maxwellの電磁方程式」と言われている４つの式にまとめたのは、Ｍａｘｗｅｌｌその人で無く、彼の死後、ヘブィサイドによって示されたようです。
マックスウェルは、１８７３年に「電気磁気論」という題の大作の著書を出版しましたが、簡潔であるよりも網羅的であることを目指し、読者のために自分の研究を要約したり、簡略化したりする努力は一切していない（「世界でもっとも美しい１０の物理方程式」より）、そうです。
Ｍａｘｗｅｌｌその人も、ベクトルポテンシャルＡとスカラーポテンシャルψ（プサイ）について、恐ろしく使いづらい（同著より）と言って居たようです。
私の勝手な判断ですが、Ｍａｘｗｅｌｌほどの人が、何の問題も感じなければ、へブィサイドのまとめた現代風の方程式型に纏められないことは無かったのでは、・・。おそらく私がこのたび学習して疑問に思っていることの解決ができないので、網羅的に自分の知見を書き記したのでは無いかと思います。
若い学生諸君、電磁気も電磁波に関してはまだまだ、謎の多い、切り開くべき道を残した楽しみな世界です。がんばってください。
どこで「ヘルムホルツの分解定理」が用いられているのか、結局は分かりませんでしたが、Maxwellの電磁方程式を素人的に解釈すると、もともと電界（発散のみのベクトル関数）と磁界（渦のみのベクトル関数）と言うベクトル関数が存在していて、それらは、電磁方程式により互いに他に直交するように時間を追って、交互に発生するような性格を持っています。
存立そのものが互いに直交性を保証された二つのベクトルであり、その合成されたベクトルは、ベクトルの3重積の恒等式により存在することが可能でしょう。
しかし、私が見る限り、電磁方程式のどこにも「分解定理」はありませんでした。
Maxwellの電磁方程式から波動方程式を導く途中で、ベクトルの3重積の恒等式を用いて居ます。このとき、これを「ヘルムホルツの分解定理を利用して」導いたと勘違いしているのかもしれません。
ベクトル３重積の恒等式は、任意のベクトルがあって、それを分解できることを示したものでではありません。
ベクトル3重積に出てくる発散のベクトル関数∇（∇・W）と渦のベクトル関数∇×（∇×W）の組み合わせは、共に一つのベクトル（−∇２WのW）を由来として持っており一卵性双生児です。
共通のWと言うベクトルを持った場合のみ、発散だけのベクトル∇（∇・W）と、渦だけのベクトル∇×（∇×W）に分解できると言う恒等式です。電磁波で言うとＮＨＫの電波の持つ電界ＥＮＨＫと磁界ＢＮＨＫの組み合わせが可能であると言うことを示していると言えます。
ところが、ヘルムホルツの分解定理に寄りますと、任意の渦だけのベクトルと発散だけのベクトルが合成されており、それを渦だけのベクトルと発散だけのベクトルに分解できると言うことになります。
ＮＨＫの電波の持つ電界ＥＮＨＫとＡＢＣ放送の電波の磁界ＢＡＢＣの組み合わせで電波が飛んいることも考えられると言って居ます。そんな電波での放送を見てみたいものです。
電磁気学者たちは、ヘルムホルツの分解定理で分解された（本当は分解された訳で無く元々存在していた）発散成分と渦成分は直交して居ると信じて居ます。実際、一つの電波のなす電界と磁界は互いに直交して居るので、互いに独立しており、もしも合成されたベクトルがあって、渦だけのベクトルと発散だけのベクトルに分解されたら、それら二つのベクトルの和は元のベクトルに等しいでしょう。
一般に、連続のベクトル関数（流れ分布など）は、渦があると発散は無く、発散があると渦はありません。しかし、現実の大気の解析（天気図解析）を行うとき、等圧面という一つの層（2次元）に付いて解析します。このとき、3次元の流れを一つの平面で切って解析すると、上下の層とのやりとりの結果、この平面内の流れは不連続線がいっぱいでき、流れが連続で無く、発散や収束が起こり、渦と共存します。この場合、不連続な流れの分布から、発散の分布も渦の分布も計算で求めることができます。
これらは、「ヘルムホルツの分解定理」で分解された結果求められるものではありません。分解されなくても、それぞれの分布が求められ、気象学者はこれが「ヘルムホルツの分解定理」に寄って分解されたと勘違いして「速度ポテンシャル」や「流線関数」を求め、毎日のその分布を公表しています。
その間違いをもっとも端的に示しているのが、速度ポテンシャルから得られる「発散風」と流線関数から求められる「渦成分の風」の直交性です。「ヘルムホルツの分解定理」が正しければそれらの風成分は直交して居るはずですが、実際のそれらの風は「直交」して居ません。
気象学者は、実際の「発散風」と「渦成分風」が直交して居なくても平気です。現実に「ヘルムホルツの分解定理」に従って分解したものが直交して居ないのですから、それが「真実」で、「発散成分の風」と「渦成分の風」は互いに他に影響されない様に吹いて居るはず、と考えています。
直交して居なくても「精神論的に」互いに影響されないで吹く意思を持って流れていくそうです。従って、大気の収束・発散は速度ポテンシャルの分布だけを見て解析できることになっています。
それが間違っていることは、ベクトルの基礎が分かっている人なら理解できるはずです。「影響されないように吹く」たって、ベクトルが直交して居なければ、影響を与えないで吹くことはできないのが、ベクトルの基礎です。科学では無く、根性論が気象学には生きています。
日本付近の大気大循環の説明を速度ポテンシャルを用いて説明していると、真の大気循環の解析ができません。このことに何時気がついてくれるのか、私が生きている間に気づいてくれることを祈っています。
このことについて、「日本の猛暑はどこから来るか」（2003年出版）にまとめていますので、興味があればご覧ください。この図書は出版後出版社が倒産して販売はされていないと思いますが、図書館などにあると思います。
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電磁波のモデルについて
私は、電磁気学に全くの素人で、70歳になるまでこの学問は既に確立されていて、どこにも疑問の余地の無い分野だと思って居ましたが、いろいろ疑問が見つかりました。基本的な電磁波モデルに違った考え方が2種類存在することは、この学問がまだ確立されて居ない部分があることを示して居ると考えます。
１．２種類の電磁波モデル
電磁波は、進行方向に垂直で、互いにも直角を保つ電界ベクトルと磁界ベクトルを伴い、それぞれが波動（例えばsin）関数として扱われています。
その電磁波の構造について詳しくネットで調べると、２種類ありました。
一つ目は、大半の教科書に示されている構造で図１のような構造です。
図１ ポピュラーな電磁波の構造（節と節、腹と腹が同調）
すなわち、アンテナや分子双極子のギャップを含む面を振動する電界とその面に直角な面を振動する磁界との二つの波動が、それらの節と節を、また腹と腹を同じ位相に持つ構造をしたモデルです。
一方、もう一つのモデルは、図２に示すように電界と磁界の位相がずれている構造をしています。
図２ 磁場の位相がずれているモデル
電磁気学が確立された学問ならば、このように２つの考え方があるのはおかしいと思います。あるいは、どちらもが正しいのに、その表現の仕方が違うことを、私が無知なために、理解できないだけなのでしょうか。
電磁波は、Maxwellの電磁方程式によって説明がされると言われます。Maxwellの電磁方程式とは、次のような４つの式からなっています。
Maxwellの式から、電界または磁界のみの波動方程式を得るために、Ampereの法則とFaradayの方程式を用いて、ベクトル3重積の恒等式を用いますが1),、2)このとき電界Eと磁界Bの位置関数ｘが共通で無ければ、ベクトル3重積の恒等式を利用することができない筈です。
したがって、電磁波を波動として扱う限りは、Maxwellの式での電界Eと磁界Bは、同じポイントを示すｘで表示されていると考えることにします。
この考えに基づくと、Faradayの式により、電界の時間変化（∂E／∂ｔ）が０の時、発生する磁界Bが０になります。
またAmpereの法則によりますと、磁界Bの時間変化が０の時、発生する電界Eは０になるはずです。
上に示した4つの方程式の位置を示すｘが電界Eに対しても磁界Bに対しても同じ値を取るならば、電磁波の構造としては、図３のようになっているのではないでしょうか。
図３ Maxwellの式から私が初めに考えた電磁波の構造
この考え方によると、先の2通りの考え方のうち、「節」や「腹」がずれた後者のモデルに近いと思います。
３．Maxwellの式の位置の関数について
しかし、図3のような構造をしていると、先に言いました波動方程式を導くためにベクトル3重積の展開を利用することができません。ベクトル3重積では回転ベクトルBが0の時発散ベクトルEが有限の値を持つなどと言うことはあり得ないからです。
Maxwellの式で波動方程式を導くためにはベクトル3重積がどうしても必要です。
すなわち、ベクトルEとベクトルBがともに波動方程式を持っている現実の状況を説明するためには、それぞれの波動の節と節、腹と腹は同調している必要があります。
Ampereの法則やFaradayの方程式に出てくる電界Eと磁界Bの位置を示す独立変数ｘ（通常はｒ）は、EもBも同じ値かどうか、素人の私には分かりません。電磁波の関係の先生方はどのようにお考えなのでしょうか。
例えば、John de Pillis氏はEM_Propagationに電磁波の伝搬について分かりやすくアニメで示して居ますが、それによりますと図４の様に、電界Eの時間変化がその周辺の磁界Bを発生させ、その磁界がさらに変化して次の電界Eを発生されるという電磁波の伝搬を考えています。電界Eと磁界Ｂ両者の位置関数ｘは同じ値では無く、一方をｒ１とすると他方はｒ２と言うことになることを示して居ます。
図４ John de Philisの示す電磁波の伝搬モデル
電界Eと磁界Bの位置関数が同じ時刻ｔに違う位置関数r1（for E）とr2（for B）を与えられるとすると、別のモデルをイメージすることができます。
４．荒唐無稽な考え方かもしれませんが
電磁気学に無知な私は、とても変な考え方をしているかも知れませんが、次のような考えで、これまでの問題を解決できるのではないかと考えました。
Maxwellの式の中で、電磁波の中では
Faradayの方程式は、
Ampereの法則については
の様に、電界の時間変化によって生じる磁界は電界の１／４波長進んだ場所の磁界が、また磁界の時間変化によって生じる電界は磁界の３／４波長進んだ場所の電界が選択的に電磁波の伝搬に寄与している考えると
、
図5 私の荒唐無稽かも知れないイメージ
図5のような伝搬する電磁波が得られます。
図5は、図の左に電磁波を発するアンテナまたは分子双極子ギャップ等が垂直にあります。この位置を1としますと、これから右のｘ方向に電磁波が進んでいくことを示して居ます。
アンテナからでた電磁波はアンテナ線に沿う垂直な平面に電界Eが振動します。一方、磁界はこの面に直角な水平面にできることになります。
電界Ｅがｘ方向に図に示す番号の１から２まで進む間に、私の考えるFaradayの方程式にしたがって、磁界Bは１／４波長ずれた位置３から４に進行します。（図５の上図）
この磁界３から４まで進行する間に、Ampereの法則に従って、つぎなる電界５から６が進行します。この繰り返しで電磁波がｘ方向に進行することを示したのが図５です。（図５の下図）
Ｆａｒａｄａｙの方程式とＡｍｐｅｒｅの回路法則？に少し、変化を与えると、いろいろ私の疑問はクリアできたのですが、詳しい人のご意見を伺えればうれしいです。
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微分演算子▽とベクトルの違いについて
ベクトルは、向きと大きさを持った数値で、一般的には3次元空間における表現として、Ｆ＝Ｆｘi＋Ｆｙj＋Ｆｚkのようにそれぞれの基軸方向の成分に分解して表現します。ただし、ここでＦｘはｘ軸方向の成分、Ｆｙはｙ軸方向の成分、そしてＦｚはｚ軸方向の成分を示します。i,j,Kはそれぞれｘ方向、ｙ方向そしてｚ軸方向の単位ベクトルを表します。
一方、微分演算子▽は、直交3次元空間では,
と書く事ができ、Wikipediaに書かれていますように
「偏微分作用素を成分とするベクトルと解釈」することができますが、一般のベクトルとは非常に大きな違いがあります。
一般のベクトルが”点”で定義されるのに対して、この微分演算子の持つ意味は、この点を含む微細ではありますが、領域（面）で定義される点です。この演算子が作用する値は、”近傍の”値との関係で、定義されます。
この違いを無視した考え方をする人がいます。
例えば、英文WikipediaのHelmholtzDecompositionの記事の中に
という記事が書かれています。上に引用した数式の上段の式、すなわちｋで考えられたことは、点での考察で、式の意味するところに問題はありませんが、下段ｒで示された式は、領域（または2次元の場合は面）で考えるべきで単純に上の式から類推して▽・Ｆｔ＝０、や▽×Ｆｌ＝０とするわけにはいきません。
このことは、定性的ですが、下図のような流れの例を考えると、簡単に彼の言っていることが間違っていることが分かります。
これは、微分演算子を単純に通常のベクトルと全く同じ扱いにしたことによる間違いです。
次に、同じような間違いをしていると考えられるのは、Helmholtz Decomposition の証明（解説？）にガウスの積分定理や、グリーンの定理などから類推して、境界におけるベクトルを境界に垂直な成分と境界に接している成分に分けて、垂直な成分が発散成分すなわち渦の無い成分、面に接している成分が渦成分または非発散成分と誤解している場合があるように思います。
境界面における点で決められる分解は、通常のベクトルの分解で、発散成分や渦成分は境界面の近傍を考慮して決められる数値ですので、境界における垂直な成分は基本的に発散成分ではありません。
境界面に垂直な成分は、単に点の単位面積を通じて発散している量を示すだけで、境界すべてに渡って積分すれば、その領域からの発散量が求められると言うだけです。
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