ヘルムホルツの分解定理は間違っている(1)

はじめに
　ヘルムホルツの分解定理は「任意の流れ」が「渦のない流れ」と「発散（密度変化）の無い流れ」に綺麗に分解できると言う定理です。この定理は気象学会などで信じられていますが、この定理は数学的に間違っていることを証明できます。

　私は２００１年に気象学会の関西支部年会に置いて「流れの分解について」を発表して以来そのことを言い続けていますが、未だに理解できる人が出てきません。

１．ヘルムホルツの分解定理の証明
　ヘルムホルツの分解定理というのは、任意のベクトル関数Vは「渦が無く発散だけがあるベクトル関数A」と、「発散が無く渦（回転）だけがあるベクトル関数B」に綺麗に２つに分解できるという定理です。

　数式的にはＶ＝Ａ＋Ｂと言う表記ができれば、ＶはＡとＢに分解できると言えます。そのためには、既に認められている恒等式などの中からＶ＝Ａ＋Ｂとなる式を見つける必要があります。

　私の知る限りでこの定理の証明を最も正しく証明しようとした人は、James　Ｒ．Holtonです。　

　Ｈｏｌｔｏｎは、その著書「An Introduction to Dynamic Meteorology」のAppendixで次のような証明をしています。

任意のベクトル関数Ｖに対して(C.1)の形の証明が出きれば確かにヘルムホルツの分解定理は証明できたことになります。

　ホートンはそのためにベクトルの３重積の恒等式(C.3)を利用しています。(C.3)については、例えば「演習 ベクトル解析」寺田・坂田・斎藤共著、サイエンス社（１９９９年発行版）のページ１９９からに次のような証明がなされています。

したがって、右辺第２項を左辺に、右辺を左辺に移項すると

となり、ＡをＷに置き換えると、Ｈｏｌｔｏｎの(C.3)と同じ式になり、ヘルムホルツの分解定理が証明出来たことになります。

２．流れの分類
　以上の証明で何の問題も無いようですが、実は任意の流れＶを−▽２Ｗで与えている(C.2)が問題です。

　Holtonは任意の流れと言っていますが、彼の言っている任意の流れは(C.2)と言う条件付の全く特殊な流れです。「２階微分可能な連続関数Ｗが存在し、その▽２（＝ラプラシアンΔ）でＶが与えられる流れの場合には」、と言う大きな条件が付いています。

　２階微分可能な関数Ｗが常に存在することが証明できないとこのHoltonの証明は完全とは言えません。
Ｗの存在に関して、流体力学の二つの基礎的な定理があります。

　その１つは、「流れに発散が存在しないことは、その流れの場にその回転が流速を示すベクトル関数が存在するための必要十分条件である。」という定理であり、もう一つは、「流れに渦が存在しないことは、その流れの場にその勾配が流速を示すスカラー関数が存在するための必要十分条件である」というものです。

　流れの特性を現す物理量に「渦の分布」と「発散の分布」があり、これらの有無によって、基本的に４つに分類することが出来ます。

＜２−１＞　渦のない流れ
　渦のない流れについて、２次元で考えて見ます。
　渦度は∂ｖ／∂ｘ−∂u／∂ｙで現されますので、渦のない流れは、

∂ｖ／∂ｘ−∂u／∂ｙ＝０　　　・・・・・・・・・・・・１）

となっています。

　この１）式は、ある関数が存在し、その全微分がｕ・ｄｘ＋ｖ・ｄｙ　であるための必要十分条件です。その関数をχとすると、

ｄχ＝ｕ・ｄｘ＋ｖ・ｄｙ　　　・・・・・・・・・・・・・２）

と書くことが出来ます。

　一般に全微分とは考えられる方向の全ての方向の偏微分にその方向の微少変化量をかけたモノの総和で表されますから

ｄχ＝∂χ／∂ｘ・ｄｘ＋∂χ／∂ｙ・ｄｙ
　です。
　　従って、渦のない流れの成分は関数χを用いて

ｕ＝∂χ／∂ｘ
ｖ＝∂χ／∂ｙ

と表すことが出来ます。

　渦のない流れについては、スカラー関数χが存在し、その微分で流れの場を現すことができます。このχは、Holtonの証明では、(C.4)に出てくるχに相当します。

　流体の中に渦が無いことは、その流れに速度ポテンシャルが存在するための必要十分条件となっています。従って、流れに渦が有る場合には、その微分が流れの速度を現すような関数は存在しないことになります。

＜２−２＞　発散が無い流れ
　発散のない流れでは、ｕ，ｖをそれぞれ直交するｘ軸方向とｙ軸方向の流れの速度とすると発散量は、∂ｕ／∂ｘ＋∂ｖ／∂ｙで現されますから

発散量＝∂ｕ／∂ｘ＋∂ｖ／∂ｙ＝０　　　　・・・・・・・・・３）

となります。この式は書き直すと、

∂ｕ／∂ｘ−∂（−ｖ）／∂ｙ＝０

と書くことができます。

　この式は、ある関数が存在し、その全微分が（−ｖ）・ｄｘ＋ｕ・ｄｙ　であるための必要十分条件です。その関数をαとすると、

ｄα＝−ｖ・ｄｘ＋ｕ・ｄｙ　・・・・・・・・・・・・・・・・４）

と書くことが出来ます。

　一般に全微分とは考えられる方向の全ての方向の偏微分にその方向の微少変化量をかけたモノの総和で表されますから、今の場合、２次元（ｘ、ｙ）で考えますと、

ｄα＝∂α／∂ｘ・ｄｘ＋∂α／∂ｙ・ｄｙ　・・・・・・・・・・５）

となります。

４）及び５）より、発散のない流れの各座標成分は関数αを用いて

−ｖ＝∂α／∂ｘ
ｕ＝∂α／∂ｙ

と表すことが出来ます。

　ここで、スカラーα（ｘ、ｙ）の分布そのものはスカラー量ですが、ベクトルＡ（ｘ、ｙ、ｚ）の各成分が

ｘ成分＝Ａｘ＝Ｃ、
ｙ成分＝Ａｙ＝Ｃ、
ｚ成分＝Ａｘ＝α

であるベクトルを考えますと（Ｃは定数）

　このベクトルＡは、Holtonの証明で、(C.4)に出てくるＡに相当します。このＡを流線関数ベクトルと呼ぶことにします。
　流れに発散が無ければ（∂ｕ／∂ｘ＋∂ｖ／∂ｙ＝０）、その流れの成分が（−ｖ＝∂α／∂ｘ、ｕ＝∂α／∂ｙ）で与えられるような関数αが存在しますが、流れに発散があればその微分が流れを現すような関数は存在しません。

＜２−３＞　流れの分類
　以上の二つの流れの検討から、流れを次の４つに分類する事ができます。

　１つ目は、流れの中に渦も発散も無い流れで、これには速度ポテンシャルと流線関数が共に存在します。２つ目は、渦のみがあって、発散の無い流れの場合で、これには流線関数のみが存在します。３つ目は、発散のみがあって渦の無い流れの場合で、これには速度ポテンシャルのみが存在します。４つ目は渦と発散が共に有る場合で、これには流線関数も速度ポテンシャルも存在しません。この流れが一般的で、ホートンの証明で関数Ｗが存在しない流れが現実には多く存在していると考えられます。

　このことを図に示しますと下図のようになります。

　従って、基本的には、流れに渦と発散のある場合は、元の流れを分解することは出来ません。

３．Holtonが証明で用いたベクトル３重積の展開が示している意味
　ベクトル３重積の展開で示している数式の意味は、「非常に特殊な流れＶは、回転のみの流れと発散のみの流れに分解できる」と言う意味です。

　非常に特殊な場合に、渦のない流れと発散の流れに分解でき、渦のないベクトルには速度ポテンシャルというスカラーポテンシャルが存在し、その傾き（gradient）が渦なし流れ（発散ベクトル成分）を表し、もう一方の発散の無いベクトルには流線関数と言うベクトルポテンシャルが存在して、その回転(curl)が発散無し流れ（渦のみのベクトル成分）を表すことができます。

　Ｖ＝−▽２Ｗが任意の流れだと考えている人にもう少し説明いたしましょう。
　ヘルムホルツの分解定理を保証する唯一の式はベクトルの３重積の恒等式(C.３)です。この式を用いて初めて

が得られますが、これには

と言う条件があります。すなわちχもＡもＷから派生した関数で、共にＷ由来の関数です。χとＡとは全く無関係ではありません。共にＷから生まれたもので、χが決まればＡが、Ａが決まればχが決まるという関係にあります。

　一方、▽×Aで与えられる流れは、ソレノイダルな流れと言い、管の中の流れのように他の流れと一切関わりなく流れると言う性格を持っていることになっています。私はそんな流れが自然界に存在するとは考えませんが、今のヘルムホルツの分解定理を主張する考えでは、一切関わりの無い流れが存在することになっています。

　だとすると、▽×Aと合成される▽・χについていくつもの組み合わせが考えられるべきです。しかし、ベクトルの３重積の恒等式(C.３)から導かれた▽・χ以外とでは、(C.5)は成り立ちません。すなわちヘルムホルツの分解定理は成り立たない組み合わせがいくつでも考えられます。

　以上でヘルムホルツの分解定理が間違いであることは証明されていますが、まだ疑問に思う人のために、もう少し具体的に例をあげて示しましょう。例えば、二つの任意の流れをV１、V２としましょう。ヘルムホルツの分解定理が正しいとして以下の二つの式が得られます。

　χ１、A１はＷ１から導かれた関数、χ２、A２はＷ２から導かれた関数です。ベクトル積の×記号とギリシャ文字のχ（カイ）とが紛らわしくて済みません。

　ここで、任意の流れ（ベクトル関数）は任意の渦成分流れ（▽×Ａ）と任意の発散成分流れ-（▽・χ）の組み合わせが可能な筈ですので、　渦なし発散流れ成分が-（▽・χ１）で、発散無し渦流れ成分が（▽×Ａ２）である流れを考えます。

ここで
　χ１＝▽・Ｗ１
　Ａ２＝▽×Ｗ２
です。

　χ１とＡ２の組み合わせに関しては、 (C.3)は成り立たなくなります。(C.3)の右辺に示されているＷは全く同じ物でないと成り立ちません。

　すなわち合成された流れV３=−▽２Ｗ3を分解できる式は、

の形しか考えられず、この時Ｖ３≠Ｖ１，Ｖ３≠Ｖ２ですから

です。
従って、

となります。
　
Ｖ３は、発散が（▽・χ１）の流れと渦が（▽×Ａ２）で有る流れの合成ですが、その合成された流れの発散は（▽・χ１）と異なり、渦は（▽×Ａ２）と異なっています。
これはヘルムホルツの分解定理が成り立って居ないことを示しています。

　この組み合わせは、無限に考えられ、一般にヘルムホルツの分解定理は成り立たないことが分かります。

　
その２に続きます。