電磁気学とヘルムホルツの分解定理と気象学

　私が電磁気を勉強し直したのは、ヘルムホルツの分解定理が間違っていることを記事にすると、反論の多くが電磁気学や光学の関係者からありました。電磁気学でも「ヘルムホルツの分解定理」を利用していることがあるのでしょうか。

　電磁気学に、電磁ポテンシャルと言う概念がありました。Wikiに「電磁ポテンシャルの導入」の項があります。

それに寄りますと、

∇・B＝０から磁界Bを表すことのできるベクトルポテンシャルA（B＝∇×A）が存在し、

アンペールの式（∇×E＋∂B／∂ｔ＝０）と磁界を表すこのベクトルポテンシャルを用いて、∇×（E＋∂A／∂ｔ）＝０が導かれるので、このベクトル（E＋∂A／∂ｔ）は、

渦の無いベクトルであり、スカラーポテンシャルφが存在する、と言っています。

 

　電磁気方程式とは面白い方程式群です。この渦の無いベクトルを導き出すスカラーポテンシャルφは、渦ベクトルポテンシャルを導き出すベクトルAに依存して居ると言うのです。私のように頭の悪い平凡な人間は、この時点で「何かおかしい」と思うのですが、電磁気学を学んだ偉い先生方は、何の抵抗もなく、この式が理解できるようです。

 

　電磁方程式は、私のように単純な頭の持ち主には分からないところがいっぱいありますが、私が調べたところでは、彼らに「ヘルムホルツの分解定理」という「分解」に関する定理は必要無い様に思います。

　実は、現在「Maxwellの電磁方程式」と言われている４つの式にまとめたのは、Ｍａｘｗｅｌｌその人で無く、彼の死後、ヘブィサイドによって示されたようです。

　マックスウェルは、１８７３年に「電気磁気論」という題の大作の著書を出版しましたが、簡潔であるよりも網羅的であることを目指し、読者のために自分の研究を要約したり、簡略化したりする努力は一切していない（「世界でもっとも美しい１０の物理方程式」より）、そうです。

　Ｍａｘｗｅｌｌその人も、ベクトルポテンシャルＡとスカラーポテンシャルψ（プサイ）について、恐ろしく使いづらい（同著より）と言って居たようです。

　私の勝手な判断ですが、Ｍａｘｗｅｌｌほどの人が、何の問題も感じなければ、へブィサイドのまとめた現代風の方程式型に纏められないことは無かったのでは、・・。おそらく私がこのたび学習して疑問に思っていることの解決ができないので、網羅的に自分の知見を書き記したのでは無いかと思います。

　若い学生諸君、電磁気も電磁波に関してはまだまだ、謎の多い、切り開くべき道を残した楽しみな世界です。がんばってください。

　どこで「ヘルムホルツの分解定理」が用いられているのか、結局は分かりませんでしたが、Maxwellの電磁方程式を素人的に解釈すると、もともと電界（発散のみのベクトル関数）と磁界（渦のみのベクトル関数）と言うベクトル関数が存在していて、それらは、電磁方程式により互いに他に直交するように時間を追って、交互に発生するような性格を持っています。

　存立そのものが互いに直交性を保証された二つのベクトルであり、その合成されたベクトルは、ベクトルの3重積の恒等式により存在することが可能でしょう。

　しかし、私が見る限り、電磁方程式のどこにも「分解定理」はありませんでした。

　Maxwellの電磁方程式から波動方程式を導く途中で、ベクトルの3重積の恒等式を用いて居ます。このとき、これを「ヘルムホルツの分解定理を利用して」導いたと勘違いしているのかもしれません。

 

　ベクトル３重積の恒等式は、任意のベクトルがあって、それを分解できることを示したものでではありません。

　ベクトル3重積に出てくる発散のベクトル関数∇（∇・W）と渦のベクトル関数∇×（∇×W）の組み合わせは、共に一つのベクトル（−∇^２WのW）を由来として持っており一卵性双生児です。

　共通のWと言うベクトルを持った場合のみ、発散だけのベクトル∇（∇・W）と、渦だけのベクトル∇×（∇×W）に分解できると言う恒等式です。電磁波で言うとＮＨＫの電波の持つ電界ＥＮＨＫと磁界ＢＮＨＫの組み合わせが可能であると言うことを示していると言えます。

　ところが、ヘルムホルツの分解定理に寄りますと、任意の渦だけのベクトルと発散だけのベクトルが合成されており、それを渦だけのベクトルと発散だけのベクトルに分解できると言うことになります。

ＮＨＫの電波の持つ電界ＥＮＨＫとＡＢＣ放送の電波の磁界ＢＡＢＣの組み合わせで電波が飛んいることも考えられると言って居ます。そんな電波での放送を見てみたいものです。

　電磁気学者たちは、ヘルムホルツの分解定理で分解された（本当は分解された訳で無く元々存在していた）発散成分と渦成分は直交して居ると信じて居ます。実際、一つの電波のなす電界と磁界は互いに直交して居るので、互いに独立しており、もしも合成されたベクトルがあって、渦だけのベクトルと発散だけのベクトルに分解されたら、それら二つのベクトルの和は元のベクトルに等しいでしょう。

　一般に、連続のベクトル関数（流れ分布など）は、渦があると発散は無く、発散があると渦はありません。しかし、現実の大気の解析（天気図解析）を行うとき、等圧面という一つの層（2次元）に付いて解析します。このとき、3次元の流れを一つの平面で切って解析すると、上下の層とのやりとりの結果、この平面内の流れは不連続線がいっぱいでき、流れが連続で無く、発散や収束が起こり、渦と共存します。この場合、不連続な流れの分布から、発散の分布も渦の分布も計算で求めることができます。

　これらは、「ヘルムホルツの分解定理」で分解された結果求められるものではありません。分解されなくても、それぞれの分布が求められ、気象学者はこれが「ヘルムホルツの分解定理」に寄って分解されたと勘違いして「速度ポテンシャル」や「流線関数」を求め、毎日のその分布を公表しています。

　その間違いをもっとも端的に示しているのが、速度ポテンシャルから得られる「発散風」と流線関数から求められる「渦成分の風」の直交性です。「ヘルムホルツの分解定理」が正しければそれらの風成分は直交して居るはずですが、実際のそれらの風は「直交」して居ません。

　

　気象学者は、実際の「発散風」と「渦成分風」が直交して居なくても平気です。現実に「ヘルムホルツの分解定理」に従って分解したものが直交して居ないのですから、それが「真実」で、「発散成分の風」と「渦成分の風」は互いに他に影響されない様に吹いて居るはず、と考えています。

　直交して居なくても「精神論的に」互いに影響されないで吹く意思を持って流れていくそうです。従って、大気の収束・発散は速度ポテンシャルの分布だけを見て解析できることになっています。

　それが間違っていることは、ベクトルの基礎が分かっている人なら理解できるはずです。「影響されないように吹く」たって、ベクトルが直交して居なければ、影響を与えないで吹くことはできないのが、ベクトルの基礎です。科学では無く、根性論が気象学には生きています。

 

　日本付近の大気大循環の説明を速度ポテンシャルを用いて説明していると、真の大気循環の解析ができません。このことに何時気がついてくれるのか、私が生きている間に気づいてくれることを祈っています。

 

このことについて、「日本の猛暑はどこから来るか」（2003年出版）にまとめていますので、興味があればご覧ください。この図書は出版後出版社が倒産して販売はされていないと思いますが、図書館などにあると思います。