Helmholtz Decomposition Theorem

通常のベクトルの分解とHelmholtzの分解との違い(2)

元のベクトルを余すところなく全て分解し、そのうち半分は発散計算に、残りの半分は渦の計算に用いられたのですから、１）式が正しいと考えるかもしれません。しかし、それぞれの成分の中に発散にも渦にも寄与しない成分はあります。

 

ベクトルAを流れのベクトルとすると、発散は、２次元では

∇・A＝∂U／∂ｘ＋∂V／∂ｙ

で表されます。

このうち、ｘ方向の成分Uによる発散を示すと下図のように

示すことができます。

上図は点ｏにおけるU成分による発散を求めるための模式図です。点ｏからΔｘ／２だけ大きい点をP4、小さい点をP2とし、それぞれの点におけるＡのｘ成分を、Ｕ４、Ｕ２とすると、点ｏにおけるＵ成分による発散量は（Ｕ４−Ｕ２）／Δｘとなります。

ここで点ｏにおける微小領域で定常流Ｕ２と発散成分に分けて考えます。Ｐ２におけるＵ＝定常流Ｕ２＋０、Ｐ４におけるＵ＝定常流Ｕ２＋（Ｕ４−Ｕ２）と考えると、点ｏのＵ成分による発散量は、

（＜定常流＋（Ｕ４−Ｕ２）＞−＜定常流＋０＞）／Δｘと考えることができます。

ｙ方向の成分Ｖについても、図は省略しますが、同じ考え方ができ、定常流と発散成分に分けて考えることができます。

また、同じように、渦に寄与しない成分を考えることができます。

今考えて居る点の近傍（P₁,P₂,P₃,P₄）のベクトルで渦や発散を考える時、「中心ｏ」からの放射線に対して「直交成分Ｕ_１，Ｖ_２，Ｕ_３，Ｖ_４」が回転を与える事は分かりますが、その成分の全てが「回転成分」になるのでは無く、「回転」に寄与しない成分があることは上の図に示す通りです。

 

即ち、ヘルムホルツの分解は、すべての成分が完全に分解しきってしまう、いわゆる通常の2方向へのベクトルの分解では無く、「発散に寄与する成分」と「渦に寄与する成分」の他に、「発散にも渦にも寄与しない成分」を加える必要があります。

 

発散にも渦にも寄与しない成分があることを含めて考えると、「発散にも渦にも寄与しない成分」は、「発散成分」と一緒になって「渦のない流れ成分」となります。流れに渦がなければ、速度ポテンシャルが存在し、「渦のない流れ」全体を表すことができます。この流れと渦だけの流れを合わせると、元の流れＡを表すことができます。

あるいは、「発散にも渦にも寄与しない流れ成分」を渦成分と合わせると、「発散の無い流れ」となり、この流れ成分と「発散のみの流れ」を合わせると元の流れＡを表すことができます。

実際の分解を現実に行っている気象関係者は、２）式に寄って「ヘルムホルツの分解」を行って、毎日の上層天気図の風を分解しています。その結果、「渦のない風の成分」から「速度ポテンシャル」を「発散のない風の成分」から「流線関数」を求め、毎日ホームページで公開しています。

その3に続く

通常のベクトルの分解とHelmholtzの分解との違い(1)

ヘルムホルツの分解定理は、英文Wiki、や日本語Wikiなどに示されているように

・・・１）

の数式で示されていますが、この式は単純な間違いをしています。

普通のベクトルの分解では、例えば、ある方向の流速を東西成分と南北成分に分解すると、元のベクトルは、すべて分解された成分に余すところなく分解されます。

しかし、ヘルムホルツの分解定理を示す１）式の右辺第1項は、元のベクトルAの発散成分を取り出して、その発散に寄与する成分のみを示しており、右辺第2項は、ベクトルAの渦成分を取り出して、その渦（度）に寄与する成分のみを示す式になっています。

１）式が、ヘルムホルツの分解定理を示していると考えることは、元のベクトルが「完全に発散成分と渦成分のみ」からできているベクトルについてのみ正解です。

電磁波を扱う人たちは、電磁波がその通りになっているものですから、１）式を信じて疑いませんが、「分解定理」を用いて彼らは分解したことはありません。

 

もしもベクトルＡに「発散にも渦にも寄与しない成分」が含まれている場合には、１）は不十分と言うか、間違っています。

正しくは、

・・・・・・２）

とすべきです。２）式のイメージを図にすると下図の通りです。

一般的には、ベクトル関数には発散にも渦にも寄与しない成分があります。単純明快な例として、一様流を考えて下さい。

上の２）式の左辺ベクトルAが一様流だとすると、ヘルムホルツの分解定理を示すとされる１）式では、右辺の第1項も、第2項も０になりますから積分常数を考えても、∇φも∇×Xも０ベクトルになります。元のベクトルAは明らかに０ベクトルではありませんから１）式は間違っており、２）式が正しいと考えるべきです。

一様流でなくても一般にベクトル関数は、発散にも渦にも寄与しない成分を含んでいます。ベクトルＡのある点における発散∇・Ａと渦∇×Ａの計算をするための差分計算のモデルを下図に示します。

図の中心におけるベクトルＡの発散と渦を計算します。

発散や渦を求めるためには、図の右に示す式に示す通りで、この点におけるベクトルＡをｘ方向成分Ｕとｙ方向成分Ｖに分解して、それぞれの成分のｘ方向とｙ方向の微分を用います。このときのベクトルの分解は、通常のベクトルの分解ですから、Ａは余すところなく全てがベクトルＵとベクトルVに分解されています。

そして、発散を求める式に出てくるベクトルは、図の青い矢印で、渦を求める式に出てくるベクトルは赤い矢印で示しています。全ての赤い矢印や青い矢印は、発散または渦の計算のどちらかに必ず使われていますので、もとのベクトルＡの全ての成分が発散または渦の計算に使われています。

しかも、発散計算に使われる青いベクトルは中心の点から出入りする（longitudinalな）方向になっていて、全く渦に寄与しない成分です。

逆に赤い矢印は中心からの放射線に直角な（transversalな）方向で発散には寄与しない成分になっています。

これは、１）式が正しいことを意味するのでしょうか。

その２に続く