発散は領域のない点に与えられない

Divergence

＜ベクトル場の境界においてポテンシャルが得られることはない＞

東大の先生初めヘルムホルツの分解定理を信じて居る人の中には、ベクトル場に境界を取ってその内部で発散と回転が与えられ、境界で法線成分と接線成分が与えられると、ベクトル場が一つに決定できるとしています。その説明の中で、境界における法線成分と接線成分が分かると速度ポテンシャルや流線関数が分かると考えて居ます。たとえば2次元（3次元）におけるベクトルについて、境界と言う線（面）上における発散や渦（回転）を求めることができないので、その点におけるポテンシャルは分かるはずはありません。

まさか、法線成分が発散成分であるとか、接線成分が渦（回転）成分であるとかは考えて無いとは思いますが、・・・。もしもそう考えて居るなら、その境界内のある点を通る別の境界を考えると、その点のベクトルは別の「法線成分」と「接線成分」が引かれることになり、同じ点での「発散成分」、「渦成分」がいくらでも存在することになります。

一点におけるベクトル値で発散成分、渦（回転）成分が分かると考える考え方と同じような間違いの例に、飛んでいる矢は止まっていると考えるゼノンのパラドックスと言うのがあります。

＜境界で発散、渦を求めることは、ゼノンのパラドックスと同じ＞

ゼノンのパラドックスは、飛んでいる矢の、考える時間を無限に小さく考えて、時間の経過が瞬間のつながりと考えます。そして、各瞬間瞬間に矢は「そこに止まっている」と考える間違いです。これは「止まっているかどうか」は速度＝位置／時間で考えるべきであるのに、分母の時間を０にもって行くことによって、速度が不定になり、速度が考えられなくなって、「位置」の情報で「位置／時間」の代わりを考える間違いです。

 

境界で2次元の発散や回転を考えることは、2次元の平面の微分を考える必要があるのに線上で、即ち点上で考えて居ます。空間微分で考える必要のある問題を空間を０に近づけて、微分を不定にしてしまっています。発散成分、回転成分を求めるためには、「その点の周辺の発散量の分布」「回転量の分布」が分かる必要がありますが、求めるための微分計算の分母を０にして考えるため、微分が不定になり、「法線成分」を「発散成分」と、「接線成分」を「回転成分」と混同してしまうなどの間違いをしていると考えられます。ヘルムホルツの分解定理を信じて居る人の多くが、この同じ間違いをしています。

境界において法線成分と接線成分が決まっても、境界における発散成分や渦（回転）成分が分かったり、速度ポテンシャルや流線関数（ベクトル関数が）決まったりすることはありません。

＜この定理は非常にナイナーな定理＞

何度も言っているかもしれませんが、この定理と言われているヘルムホルツの分解は、実際にこの定理を使って「分解している」分野はごく限られおり、マイナーな定理です。しかし、気象学のある分野では、この”定理”が用いられ、2次元の風を「速度ポテンシャル」から得られる発散成分風と「流線関数」から得られる渦成分風に分解し、大気の立体構造の研究を行っているます。

その実際は、近似的に分解され、いかにも正しい様にも見えるのが問題で、定理が正しいとして、「発散のみの風」で収束・発散を考えて居る間違った大気循環理論がまかり通っています。大気の大循環を考える時、重要になる収束・発散は地衡風と非地衡風に分解して考えることもでき、その分解には何の疑いもありません。非地衡風理論で得られる循環の考え方とヘルムホルツの分解で得られる速度ポテンシャルで考える循環の様子はかなり違った結果をもたらしています。

この定理を信じている他の分野では、電磁気学があり、電磁波の構造に関係していると考えられていますが、電磁波にこの定理は全く必要ありません。

電界（スカラーポテンシャル）と磁界（ベクトルポテンシャル）はもともと存在するもので、互いに時間を追って交互に相手を直交するように生成すると言うことを、マックスウェルの電磁方程式が説明しています。ヘルムホルツの分解定理には時間項は入っていません。

電磁気学者でヘルムホルツの定理を信じて居る人たちは、一度も実際の任意のベクトル場を分解した経験はありません。

そのほかの分野でこの定理を必要とすることはありません。そのことがこの間違った定理を長く正すことができなかった原因と考えられます。