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黄金三角形のパズル

小梁修(OSA工房)の黄金三角形パズルの一つを紹介します.
(1)正五角形の中を図のように分割して作った3種類の三角形があります.
Q1.これらはどれも2等辺三角形ですが,何故でしょうか.
ヒント:両底角が等しいと2等辺三角形になります.
イメージ 1






これらの3種類の三角形の面積に関して,以下の関係があります.
(水色の三角形)+(黄緑色の三角形)=(オレンジ色の三角形)
Q2.これを証明してください.
ヒント:補助線一本(赤い点線)でわかります
イメージ 2







(2)水色と黄緑色とオレンジ色の三角形パーツを使って
色々な大きさの正五角形を作りました.
(1)の正五角形(基本正五角形と呼ぶ)の面積を1とすると
Q3.作った色々な大きさの正五角形の面積はいくらでしょうか.
(5・a^2:c^2:a^2:b^2 の面積比になります)
各正五角形の辺長は,5x基本正五角形(辺長√5a),大正五角形(辺長c),基本正五角形(辺長a),小正五角形(辺長b)となります.
Q2で証明した面積の関係から,c^2=a^2+b^2 
a:b=1:1/Φ (ただし,Φ=(1+√5)/2 黄金比)
これらを用いて,5:1+1/Φ^2:1:1/Φ^2が求める比率です.
イメージ 3


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