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(2)正5角形のフラクタル配置からペンローズ・タイリングを

正5角形の周囲に正5角形を配置し,一回り大きな正5角形を作ります.
[平面を隙間なく埋められないのでギャップはできます]
これを単位とし,もうまわり大きな正5角形のフラクタル配置を作ります.
このような操作を次々繰り返すと,全平面に広がる正5角形のフラクタル配置ができます.
ギャップがたくさんできますが,気にしないで配置を進めます.
実は,これらのギャップの内も正五角形(白色)で埋めれば,
最終的には,2種類のギャップ(王冠型や星型のみが残されることになります.
 
Fig.1は,この操作を3回まで繰り返した後の配置です.
この図をよく見ると,2種類のタイル(黄色と青色の菱形)を用いて,
隙間な平面張り詰めができることがわかります(Fig.2).
 
Fig.2の黄色いタイル(太った菱形),青いタイル(痩せた菱形)には
正5角形のフラクタル配置の模様が残されていますからFig.3参考して
正5角形のフラクタル配置パターン,黄色および青いタイルで置き換えてください.
 
Fig.4は,ペンローズ・タイル張りで使った,黄色いタイル2B',青いタイル2A',正5角形に現れる3角形のBおよびAを,それぞれ2つづつ組み合わせてできることを示しています
 
このような手順を繰り返して,よく知られたペンローズ・タイル張り作れます
ここで作ったペンローズ・タイル張りには,たまたま,中心に5回回転対称が残っていますが,この回転対称を消すよう配置することも可能です.

イメージ 5

Fig.1













               Fig.2                  Fig.3
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イメージ 6




イメージ 8




    Fig.4




 (コラム)準結晶
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イメージ 4

イメージ 1









イメージ 2










正5角形のフラクタル構造(左図)と,これを2種類の菱形タイルで置き換えて得たペンローズ・タイリング(右図).
イメージ 3







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