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平面の非周期なタイル張り
ロジャー・ペンローズが考案した(1966)ペンローズ・タイリングは,
2種類のタイルによる規則的ではあるが,周期的ではないタイル張りの一つです.
(1)正10角形から出発して,ペンローズのタイル張りを作る
用いるのは2種類のタイル(A型とB型)です.
イメージ 1
等辺3角形 A型とB型は,正5角形の中にある形で,
それぞれ,等辺と底辺の長さの比が黄金比になっています.
等辺:底辺=Φ:1(A型),あるいは,等辺:底辺=1:ΦB型)
ただしΦ1.618・・・
 
黄金比の3角形は,分割すると,自分自身と同じ型の3角形が含まれている性質があります.
この性質を利用して,A型の3角形(10枚)が作る正10角形から出発して,分割とΦ倍の拡大を繰り返し,平面全体をA型とB型の2等辺3角形で埋め尽くすことができます.
分割してもΦ倍拡大をするのでタイルの大きさは変わらず,外周の正10角形の形も変わりませんが,タイルの数はどんどん増えていき,無限の広さを覆いつくします.
タイルの分割が充分進んだときの,AのタイルとBのタイルの個数の比は,
Φ(=1.618・・・):1の黄金比になります.
4番目の図は3回の分割と拡大を繰り返した結果です.
この図形で見られる形は,2A(型,青色)と2B(型,緑色)の2種類のタイルです.
のようにして,ペンローズ・タイリングの一つを得ることができます.

イメージ 2

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  • 面白いですが、難しいです。(苦笑)

    [ 炎武 ]

    2016/3/1(火) 午前 7:45

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    > 炎一心さん
    説明と図をさらに改良検討します.昔書いた記事の改良もしていますので,その場合,記事にNewがつかずにお気づきにならないかもしれません.例えば,正5角形のフラクタル配置からペンローズ・タイリングを作るは,前半部分の新規な説明を加えたので古い記事ですがぜひご覧ください.ウォルポールの記事興味あります.オトラント平井呈一の訳は見事ですね.

    [ sgktani ]

    2016/3/1(火) 午前 8:21

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  • レスありがとうございます。
    この書庫の昔の記事から順に読んでみます。

    オトラント城は平井氏の訳は僕はあまり気に入ってないのです。(笑)

    ナイトを「武士」と訳すなど(笑)、まあ昔の日本人に分かりやすい様に訳したのだと思いますが・・・・

    [ 炎武 ]

    2016/3/1(火) 午前 9:06

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    > 炎一心さん
    なるほど武士はナイトのことですね.古めかしくした文体に会うような用語にしたのでしょう.
    私の書庫などで項目がダブっているものを随時整理しています.お気づきの点ありましたらお知られください.

    [ sgktani ]

    2016/3/1(火) 午後 0:03

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    > 如意輪さん
    今回(11月)図を書きなおしました.少しはわかり易くなったと思います.

    [ sgktani ]

    2016/11/12(土) 午前 7:30

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