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空間充填パズル

空間充填パズル

空間は正8面体だけでは隙間なく充填することは出来ません.
(1)正8面体と立方8面体を組み合わせて空間を充填することができます.
ペロブスカイト構造に見られる正8面体と立方8面体による空間の充填
(2)正8面体と正4面体を組み合わせて空間を充填することができます.
ダイヤモンド構造に見られる正4面体と正8面体による空間の充填

(1)の場合は,正8面体と立方8面体の個数比は1:1です.
どのようにして数えますか?
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/14/17051514/img_2?1445217129
(解答)
イメージ 1赤い立方体の中に立方8面体が1つ納まっています.立方体の8つの頂点に
隙間がありますが,この隙間は正8面体の1/8の形です.したがって8つ集めると正8面体1つになります.

よって,個数比は,
正8面体:立方8面体=1:1


イメージ 3あるいは,こんな説明もできます.
立方8面体は赤い立方体の中心(茶色点)にあります.正8面体は赤い立方体の頂点(青色)にあります.赤い立方体をちょっとずらしたとイメージしてください.中心の点(茶色)は,まだ赤き立方体の中に含まれています.しかし,8つに頂点のうちずらした方向にある1つだけが赤い立方体の中に含まれ,残りの7つの頂点は赤い立方体の外になります.これで,単位封の中に,正8面体と立方8面体は1:1でふくまれることがわかります.

(2)の場合は,正8面体と正4面体の個数比は,1:2です.
どのようにして数えますか?
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/62/17051462/img_1_m?1453416995

(解答)
正8面体が辺を共有するように配列しています.赤枠の正方柱の中に正8面体が2つ入ります.なぜなら,1つは丸々入り,赤枠内の8つの頂点周りにある間隙には正8面体の1/8の形が入るからです.さらに,正8面体間には間隙があり,その形は正4面体(橙色)です.ただし,赤枠の中に入るのは正4面体の1/2の形で,上側に(1/2)x4個,下側も同様ですので合計4個が赤枠内に入ります.結局,個数比は;
正8面体:正4面体=2:1

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_7_m?1453418256
イメージ 2










小梁(OSA工房)によるCube充填パズル
周期的な空間でできるこの詰め込み構造を,立方体の単位胞の中につくります.そのためには正8面体を分割した部品にする必要があります.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_5_m?1453418256

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