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高次元からの影

高い次元の空間の周期性は,低い次元の空間に必ずしも遺伝しません.
ここではそのような例を見てみましょう.
2次元の周期的な世界から1次元の非周期の世界への影
イメージ 1














1辺の長さが1の正方形のタイル(赤色)を隙間なく張り詰めた周期的な2次元世界があります.タイルの中心に格子点があるとして,格子点を”1次元世界(水平な青色の線)”に射影しましょう.この1次元世界(青色の水平線)が過るタイルだけが影を作る対象になります.
■2次元の世界は,1次元の世界1,2,3,4,6,8.....(それぞれ色を変えた)を束ねてできています.射影のスクリーンとなる1次元世界(水平な青色直線)は,これらの1次元世界1,2,3,4,5,6,...と角度αで交わっています.tanα=n/mと有理数なら,1つの格子点が青色の直線に載れば,その格子点がある部分空間の中でm個のタイルを動き,他の部分空間に向ってn個のタイルを動いた場所にある格子点は,また青色の直線に載っているはずで,青色の1次元世界にも周期が出来ています.もしtanαが無理数なら,1つの格子点が水平な青色直線に載ったら,他の格子点でこの直線に載るものはないはずです.この時は,青色の1次元世界は非周期になります.
■射影されてできた1次元の非周期格子を,図の下に取り出しました.
この非周期格子の格子点は,各1次元空間1,2,3,4,5,6,....内に起源をもつ間隔と,次の1次元世界に飛び移るときに生じる間隔との2種類の間隔が混ざってできています.

■この非周期格子は,周期的2次元空間から1次元空間への射影で作りました.周期的2次元空間の1次元の断面そのものではありません.
 周期的3次元の2次元断面

この記事に

  • とても霊感を刺激される記事でした。ありがとうございます。

    逆に一次元では非周期のパターンが2つ、角度を持って組み合わさる事で二次元の周期的なパターンになる事も考えられますね。

    発生生物学でのチューリング理論を連想しました。

    [ 炎武 ]

    2016/9/4(日) 午後 7:49

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    > 炎一心さん
    コメントありがとうございます.そうですね.私も不思議でなりません.でも,2次元,3次元までは図で納得できますが,さらに高次元では,類推の飛躍についていけず,納得できる説明をいま考えています.

    [ sgktani ]

    2016/9/4(日) 午後 9:08

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