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表面だけのスカスカの立体では,
面がシェルピンスキーのカーペットでできているメンガーのスポンジ
が知られています.この図形は穴を開けるたびに,表面積は増加し,
体積は減少するので,質量はゼロで,表面積が∞である不思議な図形です.
メンガーのスポンジの次元は, 2.7268....次元になります.


ここでは,正4面体から出発しメンガーのスポンジのような図形を作って見ましょう.正8面体の4つの面に正4面体を4つ組み合わせると,2倍の辺長の正4面体ができます.この手順を繰り返すと,だんだん大きな正4面体ができます.
イメージ 1イメージ 2



















この手順を逆にしてみましょう.
正4面体の体積を1とすると,正4面体の中にできる正8面体の体積は1/2です.
(Q確かめましょう)
この正8面体をくり抜くと,正4面体が4つ残り,この合計の体積は1/2.
元の正4面体の表面積と,残された4つの正4面体の表面積合計は不変です.
(Q確かめましょう)
次に,4つの正4面体からそれぞれの内部の正8面体をくり抜くと,
残りの体積がさらに1/2になりますが,表面積はやはり不変です.


この操作をn回繰り返すと,体積は(1/2)^nになるが,表面積は不変です.
この調子で,無限に操作を繰り返すと,表面積はスタートの正4面体と同じだが,
質量はゼロであるようなスカスカの物体が得られます.
この図形の作り方は,メンガーのスポンジと呼ばれる図形に似ていますが,質量はゼロになるが表面積は∞にはなりません.
この図形の次元は,2倍の長さのところに4つの1世代前の図形が入るから,
log4/log2=2 で2次元です.

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