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説教壇
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東京ジャーミイ(代々木上原,東京)にある装飾です.写真左Fig.1は説教壇の横にある装飾です.写真右Fig.2はステンドグラスです.
どちらも複雑な図形ですが美しい.
これらの図形の構成を調べて見ましょう.
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  Fig.1                 Fig.2 
■Fig.1の図形の構成を,以下のFIg.3で説明します.
Fig.3の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です.
つまり底辺を1とすると,等しい2辺は1.618...,頂角は36°,両底角は72°です.
真ん中の図は,正5角形の中にできる星形で,
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです.
一番右の図は,この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです.
東京ジャーミイの美しい図形Fig.1には,星形を2つ重ね合わせたものが中心にあることに,お気づきでしょうか.
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Fig.3


Q:星形をこのように重ね合わせた図形の対称性は?
A:まず,星形の対称性は.点群5mです(5は5回回転対称軸,mは鏡映面).
2回回転対称軸2が生じるように重ね合わせたので,
重ね合わせた星形の対称性は,結局,2⊗5m=10mmの点群になります.
あるいは,星形の点群5mを「法」にすると,10回回転操作(36°の回転)は
{1,10(mod5m)}のような,位数2の対称操作として理解できます.
注)数学の言葉を使うと,次のように表現されます.
点群10mmは,点群5m(これは点群10mm内の正規部分群)を核として,
群{1,10(mod5m)}に準同型.

この考え方は,奇妙なもので,36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
これを振り出しに戻ったと見なすと,我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのに,この奇妙な空間では,
2x36°=72°回転すると元に戻ることになります.
■Fig.2のステンドグラス窓の模様は,繰り返し模様の一部です.
この繰り返し模様をFig.5に再現してみました.
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  Fig.4        Fig.5

「正5角形と180°回転した正5角形を重ね合わせた」星型パーツ(点群10mm)を
内角が108°と72°の菱形を単位胞とする格子に配置して(Fig.4)繰り返し模様を作ります(Fig.5)です.
この菱形格子は正6角形(正3角形)のように見えますが,
上下の方向が左右の方向に比べてすこし長く,歪んでいます.
正5角形や正10角形(どちらも最低でも5回対称性がある)を
周期的に並べることは不可能ですから,5回対称性が全域で支配するような格子はできません.「正5角形とその180°回転したものを重ね合わせた」星型パーツの対称性(10mm)は,そのパーツの内部だけを支配する(局所的)ものです.
この繰り返し模様の対称性(平面群)には,2回軸と水平および垂直に鏡映面があり,記号でいうとP2mmの対称性です.

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