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星型小12面体

■星型正5角形の頂点Aから始めて,A→C→E→B→D→Aと辺をたどり元に戻ると,1つの頂点で2×360°/5だけ辺が回転することがわかります.
この星型5角形を5/2と書くのは,2x360°/5=360°/(5/2)だからです.
この星型5角形が頂点で5つづつ集まる{5/2,5}は,星型小12面体になります.


イメージ 1











イメージ 2










■さて,この星型小12面体{5/2,5}は,プラトンの正多面体(正12面体)を芯にして,その正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形です.
同様に,プラトンの正多面体(正20面体:正12面体に双対)を芯にして,その正3角形の面に正3角錘(正4面体)を貼り付けてできる形は,星型大12面体{5/2,3}と呼ばれます.これら2つの星型は,ケプラーの星型多面体とも呼ばれます.
序に,この2つの星型に双対な,{5,5/2},{3,5/2}はポアソンの星型と呼ばれます.
■星型小12面体は,五芒星の面Fが12枚,稜の数Eが30,頂点の数Vが12ですので,
F-E+V=−6(我々の知っているオイラーの多面体定理では2)となります.これは星型小12面体の空間が,球の位相と異なり,穴が4つ空いた浮輪と同じ位相であるためです.

星型正多面体

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