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並進群とその部分群

無限に広がる2次元の世界(平面)が,周期的であるとは,1枚のタイル(平行4辺形)を張り詰めて,平面のタイル張りがなされている状態です.
周期的な平面はタイル(単位胞)を単位としてデジタル化された平面といえます.
タイルの辺と辺を合わせてタイル張りをすると,平面は必ず周期的になります.
平行4辺形の2辺は,周期的な2次元世界を張る「基本並進ベクトル」a1,a2です.
(注)2次元だから,互いに独立なベクトルは2本あります.
平行6辺形でも平面のタイル張りができますが,
対向する2辺間の移動ベクトルを,a1,a2,a3とすると,互いに独立なベクトルは2つのみで,残りのベクトルは従属 a3a1+a2


a1,a2を基本並進ベクトルという.基本並進ベクトルa1,a2の1次結合ーつまり,任意の整数n1,n2に対して,T(n1,n2)=n1a1+n2a2 
となるベクトルT(n1,n2)も並進ベクトルで,並進ベクトルの集合は群をなします;
これを並進群といいます.並進ベクトルT(n1,n2)で移動する点はすべて同価で,格子点と言い,格子点の集合全体が格子です.格子は,並進群の具体的な表現とも言えましょう. 

(*注)
並進ベクトルの集合Γは,加法で閉じており,群をなすことは明らかでしょう.

・ T(n1,n2),T(m1,m2)が並進群Γの元なら,
  T(n1,n2)+T(m1,m2)=T(n1+m1,n2+m2)もΓに含まれる.
・ 動かさない並進T(0,0)が存在し,これが群Γの単位元.
・ 並進T(n1,n2)に対し,逆元T(-n1,-n2)が存在する.

基本並進ベクトルa1,a2の関係を,対称性で分類して5つのブラベー格子が出来ることは,前号の図をご覧ください.また,基本並進ベクトルが作る平行4辺形が単位胞で,単位胞と呼ばれる所以は,この面積の中に格子点が1つ含まれるからです.
ただし,面心格子のように複数の格子点(2次元の面心格子では2つ)を含む胞を単位胞(実は複格子点胞)と便宜上呼ぶこともあります.

本来,単位胞はすべて単格子点胞とすべきだが,複格子点胞も混じっている.それは,以下の便宜上の根拠による:
The smallest portion of a lattice with identipoints at its corners which still retains the same point-group symmetry as the entire lattice.
単位胞    unit cell
単格子点胞 primitive unit cell ⇒ 1-lattice point cell
複格子点胞
 multiply primitive unit cell ⇒ n-lattice point cell

任意の並進ベクトルの和は,演算の順番によりません.そのような群は可換群(Abel群)と呼ばれます.
格子点を周期的に抜き取った粗い格子は,もとの格子の部分群です.1つの格子(並進群)には,たくさんの粗い超格子(部分群)がありますが,並進群は可換群ですから,並進群のすべての部分群は正規部分群になります.
例えば,(n1,n2)の偶数格子点だけを集めた粗い格子もできます.偶数格子点を「黒」,奇数格子点を「白」に塗り分ければ,黒白の2色格子ができます.

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