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数学月間SGK通信 [2018.06.05] No.222
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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夏を思わせる日があったと思うと寒い日もあります.
梅雨入りもまじかでしょう,皆様どうぞご自愛ください.
今日は,対数について実用上の役割を見てみましょう.
関数としての対数の微積分は,数学では避けられませんが
常用対数表や計算尺はコンピュータ時代に影が薄くなりました.
しかし,対数は数字の桁を表示することなので,色々な現象のスケールの定義が
対数を用いてなされます.社会や科学の色々な分野で対数が係わることになります.
■対数の発明
ネイピア(スコットランド)は,1614年の著書で対数を提唱しました.
大きな数字の間の乗算は面倒です.
対数を用いれば,掛け合わせるそれぞれの数の対数をとり,それらを加算し,
対数表の中にこの数を探しだし,対数をとる前の数を求めればよい.
積の対数は,それぞれの数の対数の和になるから,乗算が加算に変る.
log(A・B)=log(A)+log(B)
コンピュータのない時代の科学技術計算に,対数表は不可欠だった.
16cの天文学者は対数表で大いに助かったことだろう.
あのニュートンも対数表を用いて計算したに相違ない.
ビュルギ(スイス)も,ネイピアとほとんど同時期に対数を用いているらしい.
計算尺の発明は,ウイリアム・オートレッド(英)1621年と言われる.

対数をとると,乗算が加算に変わる原理は,次のようなことです.
例えば,16や32を2のべき乗で表すと,16=2^4, 32=2^5なので,
16x32=512の計算は,つまり,2^4x2^5=2^9 は,
4+5=9のように,べき乗の可算になります(指数法則).
2を底とする対数をとると,log16=4,log32=5,log512=9であるので
べき乗の可算4+5=9から,log16+log32=log512となります.
このように,対数を仲介することで,積を和に変えることができます.
ここでは,2を対数の底として説明しましたが,対数表の完備しているのは底10の
常用対数です.常用対数は,10進法に相当しています.
注)底は1でない正数.対数が定義できるのは真数が正数のとき定義される.
■対数の応用
対数は科学の様々な分野のスケールに用いられる.例えば,エントロピー.ペーハーpH,
デシベルdB,地震マグニチュード,恒星の等級,...等々.
人間の感覚感度は,べき乗スケールで変わった方が自然なようです.
例えば,
・エントロピーSと,状態のとり得る場合の数Wは,
 S=k・log(W),kはボルツマン定数.
・ペーハーpHは,水溶液の水素イオン濃度の対数です.
純水の水素イオン濃度は10^-7なので,中性のpH=-log(10^-7)=7
・デシベルdBは,ゲイン(増幅率)の対数をベルBと言い,その10倍をデシベルdBと言います.
100倍のゲインならlog100=2B=20dB.
・地震のマグニチュードMは,地震のエネルギーの対数です.
マグニチュードが1段階変わればエネルギーは約32倍になります.
・恒星の等級には,実視等級と絶対等級があります.実視等級は,一番明るい星たちを1等星,
肉眼でやっと見える星たちを6等星に区分したことに始まります.
1等星と6等星では明るさが100倍違いましたので,結局1等級違えば明るさは100^(1/5)=2.51・・倍違います.
絶対等級というのは,恒星までの距離を考慮し,恒星がすべて10パーセク(32.6光年)の距離にあるとして,
実視等級を換算し直し,地球からの距離にはよらぬ恒星本来の明るさを表します.
この換算には,明るさは距離の2乗に反比例することを使います.

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