日々考えることについて

素イデアル 代数的数の演算 剰余体

整数環の正規部分群が素イデアルなのはなぜか。

代数的数の演算が閉じているということでa^ib^jがあるのはなぜか。

剰余体というのがいまいちわからない。

アイゼンシュタインの定理

h(x)=c0+c1x+...+cnx^nでc0〜cn-1がある素数pで割り切れるがcnが割り切れない。
そしてc0はp^2で割り切れない。

こういうとき、既約多項式になるという。

でも、h(x)=f(x)g(x)と仮定して
f(x)=a0+a1x+...+anx^r
g(x)=b0+b1x+...+bnx^(n-r)
としたときに、
c0=a0b0でc0はpで割り切れるがp^2で割り切れないのでどちらかがpで割り切れる。
b0で割り切れないとする。
c1=a0b1+a1b0でc1はpで割り切れるがb0は割り切れないのでa1が割り切れなくてはいけない。
c2=a0b2+a1b1+a2b0でc2はpで割り切れるがb0で割り切れないのでa2が割り切れなくてはいけない。

n=3だったとすると、
c3=a0b3+a1b2+a2b1+a3b0でc3はpで割り切れないとする。
a0,a1,a2はpで割り切れるが、a3はどちらでもいいはずである。だから割り切れないとする。

だから、どこにも矛盾がないように思える。
だから可約であることに矛盾がないのだから、アイゼンシュタインの定理は成り立たないのではないか。

イデアル

イデアルは環であるから乗法の単位元はないはずだ。
それなのに、単項イデアルにはeがあるとされている。
これはおかしくないか。
私は何か見落としをしているのだろうか。

同型定理

同型定理がよくわからない。
第一同型定理、第二同型定理、第三同型定理があるが、ぴんとこない。

準同型写像に関する定理

定理の系の証明で、aK⊂Hというのが、理解できない。
Hは部分集合ということだけのことであって、aK⊃Hということも考えられる。
a∈aKということはその前のところで証明されているからいいとして、
aKがすべての部分集合の中で一番小さいものであるという理由はあるのだろうか。

cHc^-1⊂Hということも理解できない。
cはGに属しているのだが、なぜ上記のことが言えるのかわからない。
これが言えれば確かにHは正規部分群になるのだが。