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久しぶりに 「数学的なパラドックス」 を紹介します。
ちょっと難しい内容ですが、 きっと 「あれ？」 って思うはず。
前回同様、学生時代を思い出して、この証明問題を見てみてくださいね！
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ａ と ｂ を異なる２数として、この２数の平均値を ｃ とします。
ａ＋ｂ＝２ｃ
になります。
両辺に （ａ−ｂ） を掛けると、
（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝２ｃ（ａ−ｂ）
ａ２−ａｂ＋ａｂ−ｂ２＝２ａｃ−２ｂｃ
∴ ａ２−ｂ２＝２ａｃ−２ｂｃ
両辺に ｂ２−２ａｃ＋ｃ２ を加えると、
ａ２−ｂ２＋ｂ２−２ａｃ＋ｃ２＝２ａｃ−２ｂｃ＋ｂ２−２ａｃ＋ｃ２
∴ ａ２−２ａｃ＋ｃ２＝ｂ２−２ｂｃ＋ｃ２
∴ （ａ−ｃ）２＝（ｂ−ｃ）２
両辺の平方根をとると、
ａ−ｃ＝ｂ−ｃ
∴ ａ＝ｂ
あれれ？（￣ー￣?）
最初に ａ と ｂ を異なる２数としたのに、同じ数字になってしまいました。
うーん不思議。。(´ヘ｀；）
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姫さん、「両辺に同じ値を加減乗除しなければならない」というのはこの場合は間違いです。両辺の平方根をとる分には何の問題もありませんよー！
2005/8/1(月) 午前 1:11
そうそう、平方根には「±」があるということがこのPARADOXのカラクリです！ほぼ正解に近いかな！(^-^)ｻｽｶﾞ！ もうちょっとしたら、「ちゃんとした説明」を書きますね！
2005/8/1(月) 午前 1:16
ohkiさんから、内緒で「回答はコレ？」というのも頂きました！凄い！まさにその通りです！ｻｽｶﾞ! ｗ(゜ｏ゜)ｗ
2005/8/1(月) 午前 1:19
|a|=|b|ってことを意味してるんですね〜♪ いや〜、なんかたまに数学の問題解くのって楽しいなぁ♬ 私のコメントも削除しちゃって良いですよ！
2005/8/1(月) 午前 10:16 [ 姫 ]
??????あたまがぐるぐる〜〜〜数学はアヒルでした・・・
2005/8/1(月) 午後 2:51 [ nya*tan*k*71 ]
|a|・・・っていう記号懐かしいなぁ。。一瞬何だっけ？（￣ー￣?）って思ってしまいました（笑）ちなみに |a|=|b| である必要はありませんよ！±のうちの−の方では、a≠bでもちゃんと式が成り立ちます。・・・と言うか、最初の式 a+b=2C に戻ってきてしまうんですけどね。。
2005/8/1(月) 午後 11:42
言い換えると、±の“＋”では、a=b となってしまい、最初の前提と矛盾するので却下。“−”の方では、最終的に式が a=b=2c という元の式に戻ってしまうので、「いろいろと式をいじってはみたけど、結局何もしなかったのと同じ」 なのです。 例えば、a=6, b=4 などと入れてみれば、最初の式“6+4=2x5" と、平方根をとった後の式“(6-5)=±(4-5)” が同じになることが分かると思います。
2005/8/1(月) 午後 11:51
なんだか分かりにくい説明になってしまいましたが、もうちょっとしたら、もう少し納得のいく回答を書きたいと思います！ それから、姫さんの回答は残しておきます！放置プレー（￣m￣)うきゃきゃ。。 たまにはこうして頭を使う問題も楽しいですよね！(^-^)v
2005/8/2(火) 午前 0:02
ニャンタヌさん、僕も最初は頭がグルングルンでしたよ！ ちなみに数字は「７」で、野菜は「にんじん」でした！！・・・って全然違う記事だし！！（笑） ﾍ(ﾟ◇､ﾟ)ﾉ~らりらり〜
2005/8/2(火) 午前 0:09
何だか複雑です。しかも私言いたいこと間違えた。。平方根とった後、|a-c|=|b-c|になるって言いたかったのです。。。絶対値の記号懐かしいですね〜。他に懐かしい記号とかあるかなぁ？？∈とか∩とか？？ ちなみに私は数字は7で、野菜はキャベツでした♬
2005/8/2(火) 午前 10:53 [ 姫 ]
あひゃーーーｗｗサッパリですｗ現役大学生にゃのに・・・爆 数学は高校１年以来選択してないので☆ってか中学のときから２０点とかでした・・・数学なのになんで英語でてくんねん！！っていう頭なんです（汗）今も文系にゃのでｻｯﾊﾟﾘ・・・(つω`*)ﾃﾍ
2005/8/2(火) 午後 5:42
数学ってね、実は論理的な思考を養うものだから、数字は出てこなくても数学なんですよo(^-^)o例えば中学生の時にやった証明なんて「なんで数学なのに？」ってみんな思ったはず。でもまさにあれこそ数学！って気がするんだけどな。どう思います？Tetsuさん。
2005/8/3(水) 午前 10:06 [ 姫 ]
姫さん、|a-c|=|b-c| ならばその通りですね。 今回は (a-c)=-(b-c) だけが正しくなり、この式を変形すると、a+b=2c となり、元の式に戻ってしまう（つまり何もしていない）ということになるのです。∈とか∩って懐かしいなぁ。。でももうすっかり忘れてますよ。「集合」 でしたっけ？？
2005/8/3(水) 午後 9:01
りおんちゃん、これは現役の中学生、高校生、もしくは理系の人じゃないと難しいかもしれないですね！逆に僕は社会とか国語が苦手ですよー！！ そういえば大学の般教（今でもこう言うの？）は結構面白い講義がありましたね！ 「心理学」、「天文学」、「気象学」とかが好きでした。あと僕は専門が機械工学なので、ロボットとかも作ったりしました。楽しかった〜(^-^)
2005/8/3(水) 午後 9:09
それから姫さん、僕も数字が出てこない数学の方が好きですね。理論的に考えられるから面白い。その点では「証明」も理論的で面白かったですね。物理とかも一緒です。自然界の法則を「式で表せる」なんて凄いな〜って思いました！ 「距離」を時間で微分すると「速度」になって、「速度」を微分すると「加速度」になるとか、「円の体積」を半径で微分すると「円の面積」になって、それを更に微分すると「円の周長」になるとか、普段何気なく使っていることにも、ちゃんと規則性があるんだな〜って思いましたよ！
2005/8/3(水) 午後 9:18
∈は「属する」って意味で、∩は「積集合」だったような。。。 「(4/3πr^3)'=4πr^2」ね！！微積大好きだった♡すごく専門的な話になっちゃいましたね。 ちなみに私も社会と国語苦手でした。。。社会でも経済とか地理で数字が絡むとやる気出るのに、それ以外はまったくやる気なし。でも歴史とかもっと勉強しておけば良かったρ(~ε~;) すごい食いつき様の私だけど、まんまとTetsuさんの罠に引っかかってしまいました(〃▽〃) また数学的ﾊﾟﾗﾄﾞｯｸｽ待ってます！！
2005/8/4(木) 午前 10:29 [ 姫 ]
「積集合」ってもう完全に忘れちゃったなぁ（＾＾；） 微積は内容が難しいけど、実生活の中ではかなり使われているんですよ。姫さんの喰い付き方はかなり大好きです。まんまと罠にかかりましたねー☆ ビートさんも罠にかかると思ったんだけどなぁ。きっと忙しいんだろうなぁ。
2005/8/6(土) 午後 0:37
証明問題ではないけど、また近々、パラドックス関係を記事にする予定です！期待していてください！(^-^)v
2005/8/6(土) 午後 0:39
期待してます！！ そう言えば。。。「円の体積」じゃなくて「球の体積」で、「円の面積」じゃなくて「球の表面積」ね。
2005/8/6(土) 午後 4:31 [ 姫 ]
ヤバ！円って体積なかったね。。あはは。。。しかも微分したら球の表面積だったかぁ。。やっぱりうろ覚えじゃダメだね（＞_＜）笑 御見それいたしました！！
2005/8/6(土) 午後 6:38