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入試日程と合格率：（まとめ）

前回までに，受験生にとっての合格率という観点から，入試日程に関する二つの状況を考察してきた。
今回は，そこで得られた結果をまとめてよう。

まずは，ある大学を受験する機会が複数回ある場合に，受験生がそれらを併願すれば，その受験生の合格率が必ず上昇するのかどうかを考察した。最近の状況を見ると，一般入試に限っても，様々な入試方式の下に，受験生にはますます多くの受験機会が与えられる傾向にあると言えよう。それらを併願して受験機会が増加すれば，受験生はその大学に合格しやすくなっているように感じるかもしれない。
しかしながら，このことは必ずしも正しくなく，以下のことが示された。


≪考察結果１：同一大学への併願の効果≫
1. 全ての受験生が，自分の実力ランキングを正確に知っている場合には，併願しても合格率は変わらない（実力上位者は単願で必ず合格するし，下位者は併願しても決して合格しない）

2. 全ての受験生が，自分の実力ランキングを正確に知っている場合に，もし受験者がランダムに単願と併願を申し込むならば，実力が中程度の受験者は併願によって合格率を高められる。

3. 全ての受験者が，自分の実力ランキングを不正確にしか知らない（ある確率で間違った順位を認識している）場合には，実力が中程度の受験者は，併願によって合格率を高められる。


現状では，全国模試などを通じて，多くの受験生は自分の実力をある程度把握しているものの，その順位は実力を正確に反映している訳ではないだろう。つまり，上の三番目の状況が成立すると言えるかもしれない。

その場合には，自分が合格ラインのボーダーを少し下回るくらいだと思っている受験者は，併願によって合格率を高められる余地があることになる。



次に，受験生にとって同じくらい魅力的な幾つかの大学において，受験生にとって自分の合格率が高いのは，入試日が重なっている場合と異なっている場合のどちらなのかを考察した。直観的には，受験日が重なっている場合には，受験の機会が減ってしまうために，自分が合格する確率が下がってしまうように感じられるかもしれない。現実には，多くの大学の受験日は重ならないように設定されており，上の直感によれば，このような入試日程は全ての受験生の合格率を高めるように思える。しかしながら，このことは必ずしも正しくなく，以下のことが示された。


≪考察結果２：同一日程とばらばら日程≫
1. 受験者の実力が拮抗している場合には，受験生の合格率は試験日程に依存しない（入試日程が重なっていても異なっていても結果は等しい）。

2. 受験生の実力がばらけている場合には，実力ランキングの高い受験生にとっては，入試日程が重なっている場合の方が，自分の合格率は高くなる。

3. 他方で，実力ランキングの低い受験生にとっては，入試日程が異なっている場合の方が，自分の合格率は高くなる。


先の述べたとおり，現実には，多くの大学の受験日は重ならないように設定されている。つまり，現状は，実力上位者にとっては厳しく，実力下位者にとってはチャンスのある入試システムになっていると言える。

同一日程とばらばら日程：どちらが合格しやすいか（３）

≪受験者の実力が明確に順序付けられている場合≫
この場合には，各大学では実力順に上から10人が合格することになる。

先と同様に，まずは入試日程が同一である場合を考えよう。
この場合には，受験者の実力が拮抗している場合とは異なり，受験者の合格の確率が，受験者の実力に応じて異なるという（直観的と整合的な）結果が示される。
論点を明らかにするために，ここでは実力ランキング20位の受験者と21位の受験者について考察する。

受験者にとっては，どちらの大学も同じくらい魅力的なので，100名の受験者のうち，ランダムに選ばれた50名が大学Aを受験すると仮定しよう。
そこで，実力ランキング20位の受験者が大学Aを受験する場合を考えるとする。
この受験者が大学Aに合格するのは，大学Aの他の受験者49人の中に自分よりも高い実力の受験者が9人以下の場合，かつその場合のみである。
自分が大学Aを受験することを所与として，自分以外に大学Aを受験する49人の組合せは全部で【99C49通り】ある。

その49人の中に，自分よりも高い実力を持つ受験者が9人以下であれば，ランキング20位の受験者が大学Aに見事合格を果たせることになる。
自分よりもランキングの高い受験者が一人もいない場合というのは，大学Aの他の受験者49名全てが，自分よりもランキングの低い80名から選ばれている場合である。
このような場合の組合せは全部で【80C49通り】ある。

同様に，自分よりもランキングの高い受験者が一人しかいない場合というのは，大学Aの他の受験者49名のうち48名が，自分よりもランキングの低い80名から選ばれており，なおかつ，自分よりもランキングの高い19名から残りの1名が選ばれている場合である。
このような場合の組合せは全部で【80C48×19C1通り】ある。

このように，自分よりも実力の高い受験者が二人いる場合，三人いる場合，…九人いる場合を求め，全てを合計すれば，ランキング20位の受験者が大学Aに合格する場合を全て数え上げられる。

これらによって，実力20位の受験者が大学Aに合格する確率は約4.1％と計算できる。
この受験者が大学Bを受験したとしても，合格率は同様に約4.1％なので，結局，実力20位の受験者の大学合格率は約4.1％となる。

次に，実力が21位の受験者についても，合格率を同様に求めてみよう。
この受験者が大学Aに合格するのは，大学Aの他の受験者49人の中に自分よりも高い実力の受験者が9人以下の場合，かつその場合のみである。
先と同様にこの場合の総数を数え上げると，実力21位の受験者が大学Aに合格する確率は約1.0％と計算できる。
この受験者が大学Bを受験したとしても，合格率は同様に約1.0％なので，結局，実力21位の受験者の大学合格率は約1.0％となる。

ランキング21位の受験者の合格率が約1.0％というのはずい分と低い数値に見えるかもしれない。
しかし，これは正しくない。
このことを確認するために，次に入試日程が異なる場合を考えてみよう。

入試日程が異なる場合には，100名全ての受験者がまず大学Aを受験し，次いで（大学Aに合格しなかった場合に）大学Bを受験する。
各大学は，実力の高い方から順に10名を合格させるので，ランキング1位から10位の受験者は大学Aに合格し，11位から20位までの受験者が大学Bに合格するだろう。
つまり，実力20位の受験者は\textbf{必ず}（100％の確率で）大学に合格することになる。
他方で，実力21位の受験者は決して大学に合格することはない（合格率0％）。

つまり，ばらばら日程の入試日程とは，実力上位者にとっては厳しく，実力下位者にとってはチャンスのあるシステムだと言えよう。

同一日程とばらばら日程：どちらが合格しやすいか（２）

受験者が100名おり，どの受験生にとっても同等に魅力的な大学が二つ（大学A, 大学B）存在する状況を考えよう。それぞれの大学の定員は10名とする（全体で20名が合格する）。

入試日程が異なる場合には，最初に大学Aの入試が実施され，大学Aの合格者が決定された後に大学Bの入試が実施されるとする。この場合，大学Aの合格者は，もはや大学Bを受験しないと仮定する（注１）。

他方，全ての大学で同一日程の入試が設定されている場合には，受験者は一つの大学しか受験できない。
分析を簡単にするために，各受験者は，受験できる大学を等確率 (０．５ずつ) で割り当てられると仮定する。

≪受験者の実力が拮抗している場合≫
まずは，入試日程が同一である場合を考えよう。
ある受験者が大学Aを受験した場合，大学Aの受験者は50名なので，この受験者の合格率は10/50=20％である（注２）。
同様に，大学Bを受験した時の合格率も20％である。
それぞれの大学を受験する確率は1/2なので，この受験者がどちらかの大学に合格する確率は0.5(10/50＋10/50)=20/100=20％である。

次に，入試日程が異なる場合を考えよう。
ある受験者が，最初に受験する大学Aに合格する確率は10/100である。
大学Aで不合格となり，次に受験する大学Bに合格する確率は90/100×10/90=10/100である。
結局，どちらかの大学に合格する確率は10/100＋10/100=20/100=20％と言える。

つまり，受験者の実力が拮抗している場合には，大学の合格確率は試験日程に依存しないことことがわかる。
次回は，受験者の実力に，明確な順序が付いている場合を考えよう。


注１：
これは簡単化のための仮定であり，本質的ではない。実際，各大学が合格者の他に予備合格者を決めれば以下の議論の結果は全く変わらない。

注２：
全ての受験者の実力が同一なので，選抜結果は全くのランダムであることに注意せよ。

同一日程とばらばら日程：どちらが合格しやすいか（１）

前回は，ある大学が入試機会を増やすと，受験生の合格率にどのような影響があるのかについて考えた。
今回は，受験生にとって同じくらい入りたいと考えている大学の入試日が，重なっている場合と異なっている場合のどちらが受験生にとってありがたいかについて考えよう。

もし，受験者にとって同等に魅力的である異なる大学の一般入試日程が，同一の日に設定されていたならば，受験者はどちらか一方の大学しか受験できず，受験機会が減ってしまうことになる。
そのため，「受験日程ができるだけばらけていた方が，たくさんの大学が受験できるし合格しやすい」と思われるかもしれない。

例えば，法政大学の入試パンフレットには「全国の受験生の皆さんにとって受験できる回数が増え，チャンスが広がっています」というメッセージが記載されているが，ここでいう「チャンス」も，ひょっとしたら合格の可能性を示唆しているのかもしれない（デジタルパンフ「ＳＭＡＲＴ」184ページ）。

実際に関東の私立大学経済学部経済学科を例にとると，ほとんどの大学で入試日程は異なっており，その気になれば（そして予算が潤沢にあれば）非常に多くの大学を受験できる（※注１）。

しかしながら，これは果たして正しいのだろうか。

実は，受験者の実力が拮抗している場合には，入試日程が同一であろうとばらけていようと何も変わらない。しかし，受験者の実力がばらけていて実力ランキングが明確になっている場合には，実力上位者にとっては入試日程がばらけている方が合格しやすいが，実力下位者にとっては同一日程の方が合格しやすいのである。

次回からは，このことを簡単な数値例によって示していく。

注１：
2011年度の例では，慶應2月17日，上智2月9日，立教2月8日，明治2月11日，青山学院2月19日，中央2月14日・15日，法政2月9日・12日，成城2月12日，成蹊2月13日，武蔵2月7日，学習院2月6日，日本2月5日・13日，東洋2月9日，駒澤2月6日，専修2月10日である。ただし，全学部共通入試はのぞいた。
※※正確な入試日程は，必ず自分で確かめて下さい。

複数の入試日程によって合格の可能性は増えるのか（３）

前回の考察から，合格者の合計枠が一定であったとしても，単願の受験者がいる限り，併願によって実力が高くない受験者でも合格できる可能性が上昇することがわかった。しかしながら，上記の結果は，単願と併願を受験者が「ランダムに」決定する（しかも一定の受験者だけが単願する）という仮定に基づいているという点に注意が必要である。

それでは，受験者が単願と併願をどのように決めるのかを考えてみよう。

どの受験者も，絶対にこの大学のこの学部に合格したいと考えているとしよう。
もし，単願の費用と併願の費用がそれほど違わないのであれば，全ての受験者が併願を選択するだろう。
その結果，一番最初に考察したとおり，実力の高い順に20名が合格する（上位15名がA日程で合格し，残りの5名がB日程で合格する）。つまり，全ての受験者が，自分の実力ランキングを全く知らないのであれば，彼らは全員が併願を希望すると考えられる。

そこで今度は，全ての受験者が自分の実力ランキングを完全に知っていると仮定してみよう。

この場合には，上位20名は自分が『必ず』受験に合格することを知っているため，余分な費用をかけて併願する動機（インセンティブ）は全く生じないだろう。

他方で実力21位から100位までの受験者は，自分が必ず受験に失敗することを知っているために，やはり併願の動機は持ち得ない。それどころか，そもそも受験すらしないはずである（受験費用はタダではない）。いずれにせよ，全ての受験者が自分の実力ランキングを完全に知っているのであれば，彼らは全員が単願（または受験しない）を選択すると考えられる。

それでは最後に，受験者が自分の実力ランキングを漠然と（あるいは，ある程度）知っている場合にはどうであろうか。

自分が恐らく上位20位に入っているだろう，とある程度確信を持っている受験者であれば，併願の費用は無駄になる可能性が高いために単願を選択すると考えられる。

他方で，自分が恐らく下位の方に入っているだろう，とある程度確信している受験者であれば，そもそも受験しないだろう。受験しないことで，受験費用を節約できるからである。この場合には，彼らは志望校（または学部）を変更するのが一般的なのではないだろうか。

それ以外の受験者，例えば自分が上位20位前後にランクインしていると考えている受験者は，併願を選択する。興味深いのは，自分が上位20位に入っていないと確信していても，併願のメリットがあるということだろう。

どういう場合に，このような受験者が併願のメリットを享受できるのだろうか。

実はランキング16位から20位にもかかわらず，自分が上位15位にランクインしていると「誤って」確信している受験者を考えてみよう。

彼らは，A日程の受験で合格すると「確信」しているために，単願を選択する。その結果として，彼らはA日程の受験に失敗するので，ランキング21位以下の受験者が併願していれば，彼らが合格する可能性が生じる。今回のケースは自分のランキングに関する情報が完全ではないので，このようなことは起こりうるだろう。ただし，あまりにランキングが低い受験者にとっては，このような幸運を享受することができない。

一般的には，大学受験の本番を迎える前に何回かの模試などを通じて，自分のおおよその実力の目安を知るのが普通だろう。しかし，これらはあくまで目安であって，完全な情報ではない。つまり，最後に考察した「不完全なランキング情報」のケースである。上記の考察によれば，このケースでは，合格ラインぎりぎりに位置する受験者は，併願によって合格の可能性を高められることがわかる。