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数学入門

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順列組み合わせ

姪っ子が数学の問題が判らないので教えてくれとメールを送ってきた。

10人を3人、3人、4人の組に分けると何通りの分け方になるか

返事はこう送った。

実際にA-Jの10人で分けてみればいいじゃん

先ず、組の分け方ということでC(コンビネーション=組合せ)とかP(パーミュテーション=順列)が出てこないようでは、その理論から話さなければならない。
Cが出てくればすぐに 103 × 73 × 44 が出てくるだろう。
それが出てこないなら、一番早い解答方法は実際に当てはめてみることだ。

勘がよければ、当てはめていくうちに法則に気付くだろう。

問題を解くことと、数学(理論)を理解することは違う。問題は解ければいいのだ。解き方はどうでもいい。
数学(理論)は解くための一つの手段なのだから。手段が目的になってはいけない。数学教育は問題を楽に解くための手段のいくつかを教えているだけである。

ただ、そうは思っていない「学校の数学の先生」が山のようにいるのも事実だ。

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前回の直角三角形の面積の話で逃げていた部分があります。それは斜辺を底辺としたときの面積の考え方です。今回は、直角三角形の斜辺を底辺にした場合と鋭角三角形、鈍角三角形の最長辺を底辺にした場合の三角形の面積について話します。

三角形の底辺を一辺とし三角形を内接(※1)する長方形を描いてみます。
長方形のもう一辺は三角形の高さと同じ長さになります。
三角形に高さを線分として描き込んでみると、全体の長方形が高さの線分によって2つの長方形に分けられます。また、三角形も2つの直角三角形に分けられます。出来た直角三角形の斜辺はこの2つの長方形の対角線になっています。
どういうことか判ったでしょうか?2つの長方形を合わせると元の長方形になって、2つの直角三角形は2つの長方形の半分づつであるということです。
故に、ここからも、三角形の面積は「長辺×短辺×(1/2)」、「底辺×高さ×(1/2)」といえるのです。

今日のまとめ:三角形の面積は「底辺×高さ×(1/2)」

※1:図形の内側に接するように配置することを内接。図形の外側に接するように配置することを外接という

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ずっと横道にそれていましたが、やっと本筋(三角形の面積)に戻ります。今回はその中でも直角三角形の面積の話です。
長方形の面積は、長辺×短辺であるとの話はしました。(「32.長方形の面積」参照)

長方形をよく見てみましょう。対角線(「19.四辺形の種類」参照)を1本引くとより判りやすいです。長方形は2つの直角三角形から出来ています。この2つの直角三角形は斜辺が共有であり、短辺同士の長さは等しく、長辺同士の長さも等しい三角形です。すなわち三辺の長さがそれぞれ等しい三角形であり、合同であると言えます。合同とは面積が等しいと言うことです。

長方形の面積は、長辺×短辺です。その長方形を二分する直角三角形の面積はすなわち長方形の面積の半分です。式で言うと「長辺×短辺×(1/2)」となります。
短辺を底辺と考えた場合、高さは長辺となります。長辺を底辺と考えた場合、高さは短編となります。先ほどの「長辺×短辺×(1/2)」を三角形の公式風にいなおすと「底辺×高さ×(1/2)」といえるのが判るでしょう。

今日のまとめ:直角三角形の面積は「長辺×短辺×(1/2)」

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数学入門−33.合同

幾何では「等しい」という概念は微妙にあいまいです。長さが等しいのか、面積が等しいのか、形が等しいのか。そこで、合同という概念が出てきます。
合同とは形と大きさが等しいものを指します。

三辺形の場合、合同とは三辺の長さがそれぞれ等しく(※1)、三角の角度がそれぞれ等しいものが合同と言うことになります。
ただし、三辺がそれぞれ等しい場合は、結果的に三角も等しくなりますし、二辺とその間の角(二辺夾角)が等しい場合や二角とその間の辺(二角夾辺)が等しい場合も、結果的に三辺と三角が等しくなるので、これらを合同の条件という場合もあります。
(三辺相等、二角夾辺相等、二辺夾角相等でなぜ結果合同と言えるのかの説明は、私にはうまくできないのでネットで調べるなりしてください)

辺の長さや面積が等しいのが合同です。逆に、合同のものは、対応する辺の長さや面積が等しいともいえます。

今日のまとめ:合同とはぴったり重なるもの

※1:三辺がそれぞれ等しいとは2つの三辺形の対応する辺同士が全て等しいと言うことで、三辺形の3つの辺が等しい(正三角形)と言うことではありません

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幾何における面積とは、辺の長さが1の正方形(※1)の広がり具合を基準値として、囲まれた範囲が基準値のいくつ分になるかを表したものです。

そう考えると、長方形の面積は、長辺の長さが基準値いくつ分であるか、短辺の長さが基準値いくつ分であるかを調べ、それらを掛け合わせればいいことが判ると思います。

今日のまとめ:面積とは辺の長さ1の正方形がいくつ入るか

※1:数学では単位はない。単に無単位の1が基準値となる

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