数学実力テスト解説？

はい、お久しぶりですね。

なんか友人が数学のテストの解説を行っていたので、私もやってみようかなーと

あくまで私の見解なので、間違ってることもあると思いますのでご了承くださいな ( ｀・ω・´)

 

 

友人と同じ問題だけでいいですかね？あんま覚えてないので…

 

【３】放物線と2本の直線が交わらないための条件

 

この問題の解法はいくつかあるかと思いますが、私はそれぞれの直線に関して解くのがいいと思います。

理由は後述。

 

(i)長さが１の直線に関して

これはあれですね、頂点のｘ座標で場合分けですかね。

一個前の問題か何かで場合分けは登場したと思うので、それができた人にはできると思います。

 

(i)長さがaの直線に関して

ここも上と同じように解きたいところですが、ｙ座標が6なのでめんどくさいです。

そこで、平行移動を利用します。それでｘ軸上に持って来ればいいのです。

片方ずつやった理由は、ここで平行移動を使えるようにするためです。

あとは、さっきと同じ作業をすればおわりです＾＾

 

この平行移動の技術ですが、ぜひ身に着けておいてください。

計算ミスも減るし、早く答えも出せるし一石二鳥です。

実はベクトルってのは、この平行移動を勝手にやってくれる面もあるから便利なんですよ。

ただ、座標を求められたときは移動しなおすのを忘れないでくださいね〜

 

 

【５】紅白饅頭の確率

 

この問題で重要なのは、完成形に気づくことです。

A（赤赤）　B（白白白）という形しかないことに気付ければ、少しは楽だと思います。

 

(1)１回目で終わる確率

Aからは白玉、Bからは赤玉を選べれば終わることになります。

よって1/2×1/3で答えは1/6です。

 

(2)２回目で終わる確率

もし1回目でA（白白）となったら、2回目でA（赤赤）となることはないので、これは不適。

1回目でA（赤赤）となったら終わってしまうので、1回目ではA（赤白）となることが分かります。

つまり、入れ替わらない＝同じ色の球を選べばいいのです。

どちらも白を選ぶときは1/2×2/3で1/3、赤のときは1/2×1/3で1/6

これを足して1/2。

そのあと1回で終わればいい、つまり(1)の結果を使えばいいので

1/2×1/6＝1/12です。

 

(3)ここで重要なのは、A（白白）がいつ来るかです。

この状況からの復帰には最低2回かかることは自明ですね。

だからこの状況は最高でも1回、そして2回目までということになります。

(i)A（白白）が一回もないとき

ずっと最初の状況を維持し、4回目に一色になるので、

1/2×1/2×1/2×1/6＝1/48

 

(ii)A（白白）が一回目に来たとき

一回目にこうなる確率は1/3。ここで

(a)二回目に復帰したとき

三回目はその状況を維持するので

1/3×2/3×1/2×1/6＝1/54

(b)二回目もA（白白）のとき

1/3×1/3×2/3×1/6＝1/81

 

(iii)A（白白）が2回目に来たとき

1/2×1/3×2/3×1/6＝1/54

 

この3つを合わせると、91/1296になるはずです。

 

 

【６】あまりのもんだい

 

（１）（２）は代入すればすぐです。

（３）以降ですが、なかなか間違っている人が多かったようです。

その原因として考えられるのが、

「割る数と割られる数に公約数があったら、それを除いてよい」

というものです。

これは分数のときは成り立つのですが、余りを考えるときにはやってはいけないことです。

例えば、150を100で割った余りは何になりますかね？

決して１ではありませんよね。

文字式でも一緒です。

公約数があるからって、お互いの公約数を消していいわけではありません。

 

しかしこの公約数、あると便利になります。

というのも、

「anをbnで割った余りは、aをbで割った余りのn倍となる」

という法則があるためです。

もちろん互いに素とかいう条件はありますがね＾＾

余りをαとおくと

a=bk+α,両辺にnをかけて

an=bnk+nα

ここからも、余りがn倍されることはわかると思います。

 

さて問題に戻ります。

ｘ＾ｎ（ｘのｎ乗という意味です）-1を(x-1)(X-2)で割った余りは

(x-2)で割った余りの(x-1)倍なので

代入した結果に合わせれば大丈夫だと思います。

 

(x-1)^2で割った余りは

n(x-1)となりますね

 

 

 

 

 

 

以上です。

なんか最初に書こうと思ったことと全然違うけどいいですよねｗ

[ogw]

ハハハ。。。ｗ
自分がやらなければ君もやらなかったのかな。
っていうか6番の解答が予想の斜め上な件については流石だと思う。単純にf(x)=x^n-1を因数分解して、後は余りをpx+qとでもおいて攻めるのがオーソドックスなのだろうけど。
3番の平行移動の考え方ももらっときます。
確立の問題はやっぱり樹形図が模範解答だったけどね(ｷﾘｯ
n回目どうのについては、まあ答えれるとするならば、まずは実験をしてから関係式を予想して、数学的帰納法で証明して〜というのが指針かなーと思うけど。でも、条件が特殊な上に（ゲームが終わるという可能性が）、更にそれぞれの確立も違うからお手上げかな。