|
１＋２＋３＋４＋５＋・・・・・＝−１／１２
その時は、“前提として、我々素人の理解とは異なる定義が置かれているに違いない”と片付けておいた。最近、この等式のスマートな証明（？）に出会った。
等比級数の公式 1+x2+x3+・・・=1／(1―x)
両辺を微分して 1+2x+3x2+・・・=1／(1―x)2
収束範囲 ｜x｜≺ 1 を拡張して、x=―1 を代入
１−２＋３−・・・＝１／４
左辺 １−２＋３−・・・
＝（１＋２＋３＋・・・）―２*（２＋４＋６＋・・・）
＝（１＋２＋３＋・・・）―４*（１＋２＋３＋・・・）
＝−３*（１＋２＋３＋・・・）＝１／４
∴ （１＋２＋３＋・・・）＝−１／１２
狐に化かされたような気分だが、“収束範囲 ｜x｜≺ 1 を拡張して”という所がミソであることは明らかだ。無限等比級数の和の公式の成立条件を外しているから、“拡張”後の数式の意味は“常識”の範囲を外れている。
つまり、１＋２＋３＋４＋５＋・・・・・＝−１／１２ を文字通りに受け取ることは出来ないということを、この「証明」は教えている。
等式
１＊２＊３＊４＊５＊・・・・＝√２π （√は２π全体に被さる。）
も同様な「証明」法があるのだろうか。
|
過去の投稿日別表示
[ リスト | 詳細 ]
2013年11月05日
全1ページ
[1]
コメント（0）
全1ページ
[1]
