フェルマー素数 〜 有限・無限探求 〜 キラク素数

小島寛之「世界は素数でできている」にフェルマー素数が出てくる（p.52）。次のように定義されるフェルマー数のうち、素数であるものを指す：

 

F_n =  2²ⁿ + 1（n は自然数）で表される自然数（右肩の²ⁿは 2ⁿ つまり２のｎ乗であり、 2n ではない。言い換えると、≪２の<２のｎ乗>乗≫である。）

 

実際にフェルマー数の値の最初の方をいくつか計算してみると、

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617

F₇ = 2¹²⁸ + 1 =340282366920938463463374607431768211457

（ウィキペディア）

 

このうち、素数であるものはF₄までの５個だけである。F₅以下は、かなりのところまで素数ではなく、合成数であることが確かめられており、素数は恐らく上記５個だけだろうと予想されている（らしい）。

 

このことは承知していたが、今回、数字遊びの虫が目を覚まし、何故フェルマー数の形が特別に研究されるのか気になり、別の形の数を調べてみたくなった。手始めに、次のような簡単なものを定義した：

 

K_n=3ⁿ+2

 

小さい方から並べれば、３、５、１１、２９、８３、２４５、７３１、２１８９、６５６３、

１９６８５、５９０５１、１７７１４９、、、、

 

赤字が素数である。素数の頻度は急激に下がるが、絶えることは無さそうに見える。

 

K_nを当ブログに因み、「キラク数」と、そのうちで素数であるものを「キラク素数」と名付けよう。何か価値があるとも思えないが、もう少し探索してみよう。