「0−累桁」数 〜 因数分解 〜 周期性

本日は皇紀８桁表記の「26780917」が素数であることに因んで、数字遊びをした。

 

月日「917」に「0−累桁」で素数の出現状況を調べると次のようになる。（　）内は桁数を示す。：

 

(5)90107,(29), (37), (79), (83), (107)

            24      8      42     4      24

 

二段目の数は、素数の桁数列の階差を取ったものである。意味有りげに見ようと思えば見えるが、特に生産的な特徴は無さそうだ。実際、この先桁数を２００桁付近まで増やしても、素数は現れない。

 

観点を変えて、「0−累桁」の下での因数分解を眺めると、少しは興味を惹く規則性が見えてくる：

 

(3)917=7×131

(5)90107  prime

(7)9001007=17×529471

(9)900010007=13×13×5325503=13×69231539

(11) 90000100007=877×102622691

(13) 9000001000007=926273×9716359

(15) 900000010000007=7×31×69247×59893793=7×128571430000001

(17) 90000000100000007=171733×524069340779

(19) 9000000001000000007=83×2113×51317432537533

(21) 900000000010000000007=13×3631×31043101×614197169=13×69230769231538461539

(23) 90000000000100000000007=　？

(25) 9000000000001000000000007=　？

(27) 900000000000010000000000007=7×128571428571430000000000001

(29) 90000000000000100000000000007  prime

 

素因数分解機の計算容量の限界のため、２３桁以上では答えが得られないのだが、２１桁までの計算結果からの外挿で２７桁「900000000000010000000000007」の因数「７」と「128571428571430000000000001」が得られた。

 

因数「７」を持つ「917」型の数を並べると次の通り１２桁の周期性が見える：

 

(3)  917=7×131

(15) 900000010000007=7×128571430000001

(27) 900000000000010000000000007=7×128571428571430000000000001

 

因数「１３」を持つものについても周期性が見られる：

 

(9)　900010007=13×69231539

(21) 900000000010000000007=13×69230769231538461539

 

「0−累桁」法の下では、結構普遍的な現象と見てよい。