循環小数 〜 分割和 〜 お遊び

循環小数の循環節については、≪分割和≫の遊びがある。

 

例えば、1/7 の循環節 142857 を前後3桁ずつに二分割して出来る２数の和を取ると、

 

　　　142 + 857 = 999

 

となる。今度は３分割して 14 + 28+ 57 = 99 を得る、という具合だ。

 

ついでに、６分割してみると、1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27, これの２分割和を取れば 9 となる。

 

何処まで行っても9 に帰着するという不思議な世界だ。

 

もう一つ、分母が素数ではないが 1/21  の循環節をみると、

                   047619 → 047 + 619 = 666  　　　　　　　　　　　　　　　　　となる。

 

分母、分子をいろいろ変えてみると、222, 333, 888 など各種ゾロ目が出てくる。

 

ところで、循環節を分割すると言うとき、等分割を前提としている。したがって、循環節の長さ（桁数、周期）が偶数ならば２分割出来るが、奇数の場合にはそれが出来ない。ただし、３分割、５分割などは可能な場合もある。

 

因みに、1/37 の循環節 027 をどう扱うかだが、３分割で、0 + 2 + 7 = 9 を得る。

 

同様に、1/41  の場合は 0 + 2 + 4 + 3 + 9 = 18 → 1 + 8 = 9 となる。

 

少し長い（周期１５）循環節として 1/93 の 010752688172043 の５分割和を取ると、

 

010 + 752 + 688 + 172 + 043 =1665 →  1665 →  ２分割和、４分割和で 9 に帰着する。

 

念の為３分割和を取ると 01075 + 26881 + 72043 = 99999 となる。

 

面白いが、実用性が思い当たらず、直ぐに飽きてしまいそうな予感もある。