無素数数列 〜 数学的帰納法 〜 倍数判定法

素数捜しは、基本的に因数分解の作業である。手作業では大変な手間暇を要するが、今は幸いに因数分解計算サイトや、素数判定サイトのサービスが利用できる。素数判定サイトでは、“素数ではない”という判定の外、“素数である可能性が高い”という判定も出されることがある。

 

場合によっては、判定対象の数を因数候補数で割って素数か否かを確認することもある。

 

例えば、先達て≪個別的な現象だが、“949”タイプの対称数は１００桁辺りまででは素数にならない≫と記したことがある(雨季閑居 〜 読書 〜 数字遊び  2018/6/17(日))。この場合、≪“949”タイプの対称数は素数にならない≫と想定するが、確信を得るため、ある程度の桁数まで因数分解のデータを眺める：

949=13*73

90409=11*8219

9004009=7*1286287

900040009=11*43*1902833=11*81821819

90000400009=13×17×127×347×9241 (13*6923107693)

9000004000009=11×5351×152902669=11*818182181819

900000040000009=13×31×73×641×47726171 (13*69230772307693)

90000000400000009=11*31*20147*13100194567=11*8181818218181819

9000000004000000009=7*73*33110999*531923681(7*1285714286285714287)

900000000040000000009=11*81818181821818181819

90000000000400000000009(13*6923076923107692307693)

9000000000004000000000009=11*818181818182181818181819

900000000000040000000000009=13*69230769230772307692307693

90000000000000400000000000009=11*8181818181818218181818181819

9000000000000004000000000000009(7*1285714285714286285714285714287)

 

早々と規則性らしい傾向が現れるが、桁数が大きくなると因数分解サイトの能力を超えるので、そこからは想定される因数候補による割り算を実行する。割り算は電卓アプリでもかなりの桁数まで許容されるので便利である。

 

このデータにより規則性が確からしいと認められる。計算能力の高い人なら、数学的帰納法によって、あるいは、13 、11 、7各数の倍数判定法の適用によって、この数列には素数は現れないことを証明できるだろうと推測する。当方には無理。

 

上表では、規則性を読み取り易くするため、色付け、太字、下線を用いている。

 

以前にも述べたが、因数分解サイトでは、素因数分解が出力される。それを見ただけでは規則性に自信を持てないことが多い。その場合には、想定される規則的素因数と他の素因数の積との積の形に変換すると期待した結果が得られる。