素数遊び着眼点 〜 数字列パタン 〜 擬周期

素人の素数遊びでの目の付け所と言えば、数字の並び方が先ず思い浮かぶ。例えば：

 

(2)31, (4)3001, (8)30000001, (11)30000000001,(29)30000000000000000000000000001,

 

(2)31, (3)331,(4)3331, (5)33331, (6)333331, (7)3333331, (8)33333331,(18)333333333333333331, (40)3333333333333333333333333333333333333331, (50)33333333333333333333333333333333333333333333333331,

 

(7)3333313, (8) 33333133, (9) 333331333, (15)333333313333333,

 

(2)13, (16)1333333333333333,

 

このようなリストを眺めていると、各数の頭に付した（　）内の桁数に関心が向かうのは必然である。そこに何か規則性がありはしないかと秘かに期待を寄せるのだが、勿論裏切られる。規則性の無いのが素数の規則だから。

 

とは言うものの、(2)31 から始まる 33…1 の素数の並び方にはつい興奮する。何と7桁連続で素数となっているのだから。この調子でいけば 33…1 は素数に決まっているのではないかと思いたくなる。

残念ながら、8桁を超えるとたちまち素数の出現は疎らになる。それでも、同じ様に何桁でも連続で素数となる決まったパタンの数字列に惹かれるのだ。

 

素数出現の周期性も着目点の一つだ。厳密な周期性は勿論あり得ないのだが、それに類する言わば「擬周期」は頻繁に目にすることで多少癒される。「擬周期」とは、当方の造語で、緩やかな周期という程度の意味だ。

 

例えば、3桁あるいはその倍数（3n）の桁間隔で素数が現れることなどを指す。そのような現象が普通に見られるということだ。その間隔が途中で乱れることも頻繁に見られる。

上表の

 

(7)3333331, (8)33333331, (18)333333333333333331,(40)3333333333333333333333333333333333333331,

 

における(赤字)は擬周期 11 を示す。

 

次に掲げるのは、擬周期4が2系列（緑と赤）併存する例である：

 

(10)1419898889,(13)1410009898889,(17,25,26,29,42,58,61,105,)1410…09898889,

 

これがどこまで続くのか、甚だ興味あるところだが、計算能力の無いのが残念だ。