素数遊び 〜 確実擬周期？ 〜 最大素数捜し

今日は素数日なので、関連のメモを記しておきたい。

 

≪2019年2月の素数日付≫　

西暦8桁　20190221, 20190227,

西暦7桁　2019211, 2019217, 2019223,

西暦6桁　201923,

皇紀8桁　26790221, 26790223,

皇紀7桁　2679211,

皇紀6桁　267929

和暦6桁　310223,

和暦5桁　31219, 31223,

和暦4桁　3121,

 

月日だけの 217 は 7×31 と因数分解される。月と日との間に「0」累桁法を適用して素数を探索すると

 

(4)2017,(6)200017,,,,, と現れる。

 

素数とならず因数分解される桁においては何がしかの擬周期性らしきパタンも見え隠れする。その検証は後日の楽しみとするが、次のような面白い例を見付けた：

 

因数分解 (13)2000000000017 = 181×11049723757 に現れる素数「181」に「8」の累桁法を適用すると

 

(3)181, (9)188888881, (15)188888888888881 の素数列が得られる。桁数列 3 9 15 は擬周期「6」を示唆する。中間の桁においては因数分解のパタンが見受けられるので、素数が現れるとすれば、擬周期「6」で3 9 15 の延長上にあると推定された。

 

この推定に基づいて検算した結果、(93-6), (129-6), (885-6)で素数を得た (「-6」は擬周期「6」の適用を示す)。当方の利用できる検算具では1000桁が限界である。

 

単純に作業を続ければ、いくらでも大きな素数が得られるのではないかと想定される。ただし、何桁目でヒットするかは予測できないから、アホみたいな作業になる。それでも、メルセンヌ素数で巨大素数を探索する高級な作業と本質的には差は無いように思う、と言うか、思いたい。

 

この屁理屈は、「181」に限らず、他のいずれの(素数候補)原数にも当てはまる。