素数遊び〜メルセンヌ素数 2n − 1〜？素数3n+2 、3n-2

本日の日付けが西暦８桁表示20190523、和暦４桁表示 1523 で、それぞれ素数であるという由緒正しき日であるので、素数遊びをしたい。

 

素数の一タイプにメルセンヌ素数 2ⁿ − 1（n は自然数）がある。小さい方から例示すれば次のようである：

 

2²−1=322−1=3

2³−1=723−1=7

2⁵−1=3125−1=31

2⁷−1=12727−1=127

2¹³−1=8191213−1=8191

2¹⁷−1=131071217−1=131071

2¹⁹−1=524287219−1=524287

2³¹−1=2147483647231−1=2147483647

2⁶¹−1=2305843009213693951261−1=2305843009213693951

 

なぜ2ⁿ – 1 なのかと考えても解らないが、無意味な形ではなさそうだと思わせるような特性がある：

 

例えば

 

≪2ⁿ – 1が素数になるのは n が素数の場合に限る≫

≪メルセンヌ素数は完全数を与える≫

≪メルセンヌ素数は二進法表記で 111…1 となる≫

 

形だけ真似て 3ⁿ+2 、 3ⁿ-2 の素数生成状況を調べてみた：

 

n    3^n+2     3^n-2

 

0    3         -1

1    5          1

2    11         7

3    29         25

4    83         79

5    245        241

6    731        727

7    2189       2185

8   6563        6559

9    19685      19681

10  59051       59047

   11   177149    177145 

   12   531443    531439

   13   1594325   1594321 

   14  4782971    4782967

   15  14348909   14348905 

   16   43046723  43046719  

   17   129140165    129140161 

   18   387420491    387420487

   19   1162261469   1162261465

   20   3486784403   3486784399

   21   10460353205  10460353201

   22   31381059611  31381059607

   23   94143178829  94143178825

   24  282429536483   282429536479

   25   847288609445  847288609441

   26  2541865828331   2541865828327

   27   7625597484989  7625597484985

   28   22876792454963  22876792454959

   29   68630377364885  68630377364881

   30   205891132094651  205891132094647

   31   617673396283949  617673396283945

   32   1853020188851843  1853020188851839

   33   5559060566555525  5559060566555521

   34  

　

結構素数を生成するようだが、それで？と軽くいなされそうだ。