愛唱会きらくジャーナル

五月素数補遺 〜 529擬周期11 〜 循環節拡散

本日は和暦4桁表示日付けで 1531 の素数日となる月末に因み、今月の素数遊び補遺として2，3項目残しておこう。

 

西暦8桁の正統派素数日20190523,20190529 の月日3桁 523と529 の間に、529 = 23 x 23 の関係を見付けた。特段の意味も因果関係も無く、単に数字遊び上面白いだけだが。

 

素数ではない(3)529 に「0」累桁法を施し、500…29 の形の素数の出現を見たところ、(6)500029,(10)5000000029,(21)500000000000000000029,(26),(37),(70),,,となり、擬周期 11 を見出した。

 

生没日としては、与謝野晶子の没日 (7)1942529 が素数だが、(8)19420529 は643×30203 と素因数分解される。その素因数(3)643 に「3」累桁法を施す過程で、(16)6433333333333333=7×919047619047619  を得た。素因数 919047619047619 は先だって紹介した循環コンポーネントを含んでいる（素数探索 〜 1219512195 〜 AAP　2019/5/27(月)）。桁の区切り方は微妙だが、91 904761 904761 9 とするのが妥当だろうか。循環コンポは 904761となる。

 

無限循環小数の例に倣えば、919 047619 047619  と区切りたいところだが、、、。

 

なお、3桁日付 523 に「3」累桁法を施せば、素数 523…3(3,4,6,17,23,,,)を得るが、13桁合成数で(13)5233333333333=7×747619047619 と素因数分解を得た。この場合は、7 47619 0 47619 のように、循環の定義に合致しないと見做すか、これまた悩ましいことだ。

それにしても、919047619047619と747619047619と、そっくりの循環節を持つ素数が見付かったのは、偶然か、必然か。

美しく青きドナウ 〜 縮約切り貼り 〜 ドイツ語キセル

明2020年2〜3月の発表会用の曲の一つに「美しく青きドナウ」"An der schönen    blauen Donau"を選定して何か月も経った。適当な楽譜を探索したが、なぜか手の届くところには発見できなかった。どこにでも有りそうな有名曲なのに。

 

諦めて、ピアノ練習曲集やヴァイオリン・ソロ用人気曲集に所収の楽譜から転用して間に合わせようかと思っていたが、メンバーのＦさんが友人から三部合唱譜のコピーを入手してくれた。

 

そのまま演奏すれば10分ほど掛かりそうで、長過ぎるので、三分の一程度に縮めることにした。

 

また、当初はドイツ語原詩のまま利用する積りであったが、外に10曲ばかり練習しなければならないので時間的に余裕が無いと判断し、日本語訳詞を採用することにした。

 

往生際が悪いのだが、ドイツ語に拘り、冒頭と終曲部には原詩の一節を付することにした。

 

縮約したり、ドイツ語部分を付加したりするため、楽譜の切り貼りを要する訳で、接合部が円滑に繋がるようにしなければならない。これを、楽譜上で伴奏まで含めて確認する能力は無いので、ピアノ担当のＭさんに丸投げした。

 

ソプラノにして、ピアノも能くするＭさんは期待に応えて見事な解決案を示してくれた。

 

これで全11曲の楽譜が揃ったので、残り半年、しっかり練習しよう。

 

それにしてもヴォーカル・メンバー4人とは、寂しい限りだ。発表会の度に助っ人さんを募った頃は、正規メンバー3人だけということもあった。

 

公的施設の歌う会などには数十人のお年寄りが集まるのだが。

素数探索 〜 1219512195 〜 AAP

素数遊びで、“577”に「0」累桁法を施していたところ、次のようなデータを得た：

 

(3)577,(4)5077,(5)50077,(7)5000077,(9)500000077,(20)50000000000000000077, (28)5000000000000000000000000077,(30),　

                                 ( )内は生成した素数の桁数を示す。

 

例によって、取り留めの無いデータで先に進めないのだが、素数とならない桁の因数分解に面白い形の素数が現れた：

 

(16)5000000000000077 = 41 × (15)121951219512197,

 

大きい15桁の素因数 121951219512197 が 12195 12195 12197 と3個の5桁コンポーネントから成ることは一目瞭然である。末尾のコンポ12197 が素数であることは直ぐに確かめられる。

 

素数 121951219512197 を便宜上 AAP と表記することにしよう(A=12195, P=12197)。

 

素数Pに「A」累桁法を施してみた： 

　　　(1)P, (2)AP, (3)AAP, (4)AAAP, (10), (36), (「AA」累桁により42),,,,, 

AとPとがそっくりの数であることが最初から興味を惹いたが、その意味するところは不明だ。単なる偶然かも知れない。A=1219512195 が循環小数の循環節の例として登場していることにも興味が湧く。

 

コンポーネント A を 3 の倍数でない数として、任意の素数 P について「A」累桁法を施す遊びは当分楽しめそうだ。

素数遊び〜メルセンヌ素数 2n − 1〜？素数3n+2 、3n-2

本日の日付けが西暦８桁表示20190523、和暦４桁表示 1523 で、それぞれ素数であるという由緒正しき日であるので、素数遊びをしたい。

 

素数の一タイプにメルセンヌ素数 2ⁿ − 1（n は自然数）がある。小さい方から例示すれば次のようである：

 

2²−1=322−1=3

2³−1=723−1=7

2⁵−1=3125−1=31

2⁷−1=12727−1=127

2¹³−1=8191213−1=8191

2¹⁷−1=131071217−1=131071

2¹⁹−1=524287219−1=524287

2³¹−1=2147483647231−1=2147483647

2⁶¹−1=2305843009213693951261−1=2305843009213693951

 

なぜ2ⁿ – 1 なのかと考えても解らないが、無意味な形ではなさそうだと思わせるような特性がある：

 

例えば

 

≪2ⁿ – 1が素数になるのは n が素数の場合に限る≫

≪メルセンヌ素数は完全数を与える≫

≪メルセンヌ素数は二進法表記で 111…1 となる≫

 

形だけ真似て 3ⁿ+2 、 3ⁿ-2 の素数生成状況を調べてみた：

 

n    3^n+2     3^n-2

 

0    3         -1

1    5          1

2    11         7

3    29         25

4    83         79

5    245        241

6    731        727

7    2189       2185

8   6563        6559

9    19685      19681

10  59051       59047

   11   177149    177145 

   12   531443    531439

   13   1594325   1594321 

   14  4782971    4782967

   15  14348909   14348905 

   16   43046723  43046719  

   17   129140165    129140161 

   18   387420491    387420487

   19   1162261469   1162261465

   20   3486784403   3486784399

   21   10460353205  10460353201

   22   31381059611  31381059607

   23   94143178829  94143178825

   24  282429536483   282429536479

   25   847288609445  847288609441

   26  2541865828331   2541865828327

   27   7625597484989  7625597484985

   28   22876792454963  22876792454959

   29   68630377364885  68630377364881

   30   205891132094651  205891132094647

   31   617673396283949  617673396283945

   32   1853020188851843  1853020188851839

   33   5559060566555525  5559060566555521

   34  

　

結構素数を生成するようだが、それで？と軽くいなされそうだ。

富士山登山鉄道構想 〜 箱根八里 〜 フニクリ・フニクラ

今日の朝日新聞夕刊の１面トップに『１００年の夢走る？富士山登山鉄道』の大見出し。色刷りで挿絵と写真を添え、“構想、浮かんでは消え・・・山梨県が勉強会”“５合目まで 有料道路に線路案”“頂上へケーブル 過去に計画”の小見出しを付すなど、目を惹く記事だ。

 

登山電車と言えば直ぐに「フニクリ・フニクラ」を思い浮かべる。また、電車ではないが登山絡みで「箱根八里」も連想される。

 

某合唱グループの例会や発表会の素材としてこの両歌を候補にしてはどうかと考えた時、連想が膨らんで、両者には何がしかの関係が有るのではないかと想像を逞しくした。

 

「フニクリ・フニクラ」の発表（Funiculì funiculà）は１８８０年で（ウィキペディア）、「箱根八里」は１９０１年である。

 

一旦その思いを抱くと以後の思考もそれに影響されるのか、「箱根八里」の曲調が「フニクリ・フニクラ」に似ているように感じられてならない。

 

瀧廉太郎は“Funiculì funiculà”に接していただろうか。

 

蛇足ながら、“富士登山ケーブルカー”に関連して、当方の別ブログ（http://baobab.seesaa.net/）に６年前、２度雑文を載せている（富士山〜登山鉄道〜構想公然化 2013年07月01日、日本植物園協会 會報〜富士山ケーブルカー〜国立植物園　2013年02月03日）。