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一昨日の当欄で米略式日付けによる素数日の階差数列について、何か意味有り気な感想を記したが、その後、月を変えて幾つか調べてみたところ、階差数列に特段の傾向の無いことが判った。理論的な基礎の無い所で、少ない事例から法則に類するものを見ようとすることの危険性を改めて認識した。
そこで、単純に数字の面白さだけに立ち戻って、本日の和暦による素数10711 で遊んでみた。 この (5)10711 の末尾３桁「711」を一つのモジュールとして、累桁法を施したところ、次のように素数列が得られた。（）内は当該素数の桁数。： (5)10 711, (8)10 711 711, (17)10 711 711 711 711711, (29)10 711 711 711 711 711 711 711 711 711, (32)10 711711 711 711 711 711 711 711 711 711,,,, モジュール「711」の３桁をまとめて１桁と見做して改めて桁数の数列を記せば次の通り：
≪3 4 7 11 12 ,,,≫ 次の型の数などが、これに似た素数出現パタンを示す：
80…9 型 ≪2 3 4 7 13 ,,,≫ 70…9 型 ≪2 3 5 7 12 13 14 ,,,≫ 70…1 型 ≪2 3 4 5 6 9 10 ,,,≫ 10…7 型 ≪2 3 5 9 10 ,,,≫ 120…7型 ≪3 5 7 9 12 ,,,≫ 269…型 ≪3 4 7 12 ,,,≫ 型的に「10 711 711」と最も似ているのは「269…」であり、桁数列も心なし類似していると見做したくなるが、、、？
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無題
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毎月の素数日を認定する基準を厳しくしようと思う。ありふれるほど素数日が多くなっては有難みが無くなるから。西暦と皇紀は８桁に、和暦（令和）は５桁に限ることにする。
参考としての米略式（月／日／年(下２桁)）は５桁(１〜９月)又は６桁(１０，１１，１２月)とする。
この新基準による７月の素数日は次の通り：
2019年07月素数日
西暦(８桁) 20190719 皇紀(８桁) 26790713 26790719 和暦(５桁) 10709 10711 10723 10729 米略式(5桁) 70619 70919 71119 71419 71719 72019 72719 73019
米略式の８個は、同じ５桁の和暦の４個の倍という多さである。末尾２桁「19」に特異性でもあるのだろうか。そう言えば、西暦(８桁)の20190719も、皇紀(８桁)の26790719も、同じ末尾２桁「19」だ。これは偶然だろうが。
ちなみに、一昨2017年の７月は≪70117 70717 71317 71917 72617 72817≫の６個、明後2021年の7月は≪70121 70321 70621 70921 71821 72221 72421 73121≫の８個である。
考えてみれば、「日」が日付けの末尾に来れば偶数、基数が交互に現れるのだから、素数日が少ないのは当然だ。全く「下手(馬鹿)の考え休むに似たり」だな。
それより、米略式での(今月の)素数日の数列≪06 09 11 14 1720 27 30≫の階差が≪3 2 3 3 3 7 3≫と 3 が圧倒的に多いことの方が意味有り気ではないか。末尾２桁でなく、５桁素数の第４・３桁の数であることに特に惹かれる。 和暦(５桁)での(今月の)素数日では、階差は≪2 12 6≫と、3 の倍数が目立つが、これは標本が小さ過ぎて無意味だろう。そもそも、素数分布の不規則性を忘れてはならない。
その点、米略式での2017年と2017年の同様階差数列が≪6 6 6 7 2≫、≪2 3 3 9 4 2 7≫であるのが興味深い。
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いつぞや訪問コンサートで“You are my sunshine”をアンコールにリクエストされ、突然のこととて、一同凍り付きかけたことがあった。耳に馴染んだ歌ではあるが、当方など一度も歌った経験が無かった。
ところが、訪問団の大多数を占める女性たちが囁き合ったあと、やりましょうと決まった。斉唱であるが、何と滑らかに歌い終えたのには驚き、かつ、感心した。日頃、外国語歌唱には拒絶反応を見せる彼女たちが自発的に英語で歌ったのが不思議だった。
この事実を基に考えれば、“You are my sunshine”は彼女たちには歌い着けた歌であることが明らかである。要するに、当方が歌っていなかっただけで、世間ではポピュラーな歌だということだろう。「井の中の蛙」ぶりを暴露したようなものだ。
別のグループで、その“You are my sunshine”を練習しようとの声が上がって、この歌が女性(年配の)に人気のあることを改めて思い知った。当方などには、こんな単純かつ単調な歌のどこが良いのだろうと不思議なのだ。せめて二部合唱ぐらいで歌いたいものだ。
しかし、現実には“数は力なり”で、周囲の趨勢を受けて少し予習することにした。
歌詞は直ぐに入手できるが、合唱譜は意外に希少なようだ。無伴奏の簡単な三部合唱譜があった。
歌の背景など知りたくてネット検索したところ、ズバリ「ユー・アー・マイ・サンシャイン物語」と題する本（三井徹／著 筑摩書房 1989.3）が図書館にあった。
読み始めたところ、記述その他に偶然ながら当方の来し方を想起させることがらが散見され、大いに興味が湧いた。
おまけに、この歌の“持ち主”たるジミー・デイヴィス(Jimmie Davis ＝ James Houston Davis)の生没データが数字遊び心を喜ばせる： September 11, 1899 – November5, 2000 |
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素数遊びも闇雲に素数判定に勤しむだけでは全く収穫が無い。明確な視点を定めて体系的にデータを取らなければ有益な結果が残らない。
そこで、遊びであるから面白味を判断基準とした新企画を始動させることとした。
先ずは、特定パタンの数字列における素数の出現状況という単純なテーマを設定した。例えば、算用数字の昇順列≪123456789≫や降順列≪987654321≫を基準とした自然数群に含まれる素数を探索しようというものである。
具体例として、上記昇順列≪123456789≫を取り上げる。この９桁の自然数のままでは３の倍数であるから、数字をひとつ付加して、３の倍数でない１０桁の自然数を作る。
最初は順当に１を先頭に付加して≪1123456789≫を取る。次に１の位置を順次右側へ移して、≪1213456789≫、≪1231456789≫、、、を取り、それぞれの素数判定を行う。同じことを、付加数字２，４，５，７，８について行う。
この一連の操作で扱う１０桁の自然数群の母数は約９０である。母数と言うのは、付加数字を（作成自然数が３の倍数とならない）１，２，４，５，７，８の６個に限定せず、１〜９の９個とした自然数の総数である。
この探索によって判明した素数は次の８個であった（太数字が付加数字）：
1234156789,1234561789, 1234567891, 1234567289,1423456789,1523456789,1234856789, 1234568789, これで何が判るか、興味の湧くところであるが、先ずは単純に素数の個数（換言すれば頻度）に注目しよう。これら１０桁の自然数の数域における素数の割合は大体５％程度であることが素数定理から知られ、それによる素数の予想個数は４〜５個である。
上記の実個数９は予想の２倍である（考え違いが無ければ）。これは無視できない乖離である。
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ピーター・コヴニー 著 ／ロジャー・ハイフィールド 著 ／野本陽代 訳「時間の矢、生命の矢」（草思社 1995年04月03日）をチビチビ読んでいる（トイレで）。近所の図書館がリサイクルで放出したのを見つけ、持ち帰ったのは多分3年ほど前のことだ。今年中には読み終えたいと思っている。
英米の一流大学で学んだ物理学・化学の専門家二人による科学哲学書であり、訳書版元による簡単な紹介文は次の通りである：
≪ニュートンもアインシュタインも時間の向きは逆にできるという。だが、時間は不可逆のはずだ。この矛盾をどう解くか。時間の矢と科学理論の統合の道を探った力作≫
時間とは何か、古今東西数多の碩学が考察し、論じつつ、未だ明解な答えは得られていない（と当方は考える）。哲学的な思索では解答は不可能であるように思われる。希望は物理学に託するしかないだろう。
単純素朴な四次元時空の連想で、時間は立体空間の3次元にプラスされる四つ目の次元であると割り切ることはできても、具体的に時間の存在をイメージすることは出来ない。
時間を観測する（計測する）方法は確立されているように思われているが、それらの正当性は証明できていないのではないだろうか。経験的にそれでよいだろうと妥協しているのではないか。
時間は、立体空間の3次元のようには自由に移動できない次元である。そのわけは説明できていない。一部には、タイムマシーンの理論的可能性が主張されているとも言われているようだが、一般的な理解によれば、因果律に抵触するもので、到底あり得ないと思われる。
本書の物理化学的論述を十分に理解できてはいないが、時間の一方向性は熱力学の第二法則と同値であると述べているように思われた。
熱力学の第二法則
熱が高温の物体から低温の物体へ移動する過程は、他に何の変化も残さないならば不可逆である、 あるいは、孤立系のエントロピーは、不可逆変化において常に増大するという法則（ウィキペディア）
エントロピーとは何か。これがまた難解な概念である。“熱力学において断熱条件下での不可逆性を表す指標として導入され、統計力学において系の微視的な「乱雑さ」を表す物理量という意味付けがなされた”と言われても殆ど助けにはならない。
原著はほぼ三十年前に出版されている。その後の物理学の進歩はあっても、時間の本質に関する理解は全く深まっていないようだ。
という訳で、あまり得るところの無い間歇的、長期にわたる、いまだ終点の見えない読みかけの本書であるが、付随的に興味深い記述もある。（続）
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