二乗してiに成る数…基本的複素数計算を図形的な視点を用いて暗算する方法

前回は二乗して−1に成る数iに就いて説明しました。iを掛けることは反時計回りに90度回転を意味すると説明したのですが…ではこの平面図形と計算の融合の知見を使って二乗するとiに成る数を予想して見ましょう。2回連続して90度回転に相当する数は45度回転或いはその数の−1倍の数と想定されます。半径1の円(単位円)上始点(1、0)を45度回転した数を3平方の定理から(√2/2、√2/2)→√2/2×(1､1)
此れは√2/2×(1+i)に対応している。
だから、{√2/2×(1+i)}²＝iになると予想出来る！
実際に計算して見ると、i²＝−1なので
1/2×(1+2i−1)＝i になり予想通りになった。
此れより、二乗してiに成る数は±2/2×(1+i)

此れと同じ発想でa＝1/2×(1+√3i)
は60度回転と考えられてa³＝−1
又、b＝1/2×(−1+√3i)は120度回転なので
b³＝1　と計算しなくても理解出来る。
実際に計算して見ては如何？（笑）
私はそんな面倒臭い計算には全く興味はないのですが（爆笑）
a³に就いては物凄く泥臭い計算に付合いますね！
a²＝1/4×(1+2√3i−3)＝1/2×(−1+√3i)
a³＝1/4(1+√3i)(−1+√3i)＝1/4×(−1−3)＝−1
で確かに予想通りでした！