学校・教科書では身につかない自由な発想の翼を拡げて数式を理解する講義①改定編

5X−2Y＝19……①
2X+3Y＝19……②
この連立方程式を中学校の教科書には無い発想で様々に解いてみよう。

①の式から

X=2K+3 Y=5K−2と考える・

これを下の②式に代入4K＋6＋15K−6＝１９

１９K＝19

∴K＝1

拠ってX=５ Y=３

<別解>

②の式から

X＝3K＋2 Y=−2K+5

①に代入15K+10+4K−10＝19
19K＝19 ∴K＝1

拠ってX=５ Y=３



中学の教科書は①を２倍②を３倍して足すこ とを勧めているようだが……実際に記述してその煩雑さを確かめてみます（苦笑）
①×2 4X+6Y＝38……④
②×3 15X−6Y＝57……⑤
④+⑤
19X＝95 ∴X＝5
①に代入して25−2Y＝19
−2Y＝−6 ∴Y＝3
(X,Y)＝(5，3)


実はこの教科書の解法は連立方程式専用の解法で応用範囲が極めて限定されている不自由な解法なのです。

例えば次の不定方程式

２X＋３Y＝１９

の自然数解の個数を求める場合には全く無用の方法なのです！
この場合にもParameterKの活用が威力を発揮するのです！

X=３k＋５ Y=−２K＋３

K＝−１、０、１の３つが該当して３個

ちなみに（X,Y）＝（２、５）（５，３ ）（８、１）となります。

★註記★ 私の解法はパラメータKを利用して２X＋ ３Y＝１９を表記したのです。 XはYの係数３、YはXの係数２を利用して 一方にマイナスを付けます。 つまり、X=３K…、Y＝−２K…の形を作り ます。５，３は式に代入して１９になる ２数を任意に見つけただけです。１１、− １でも構いませんが…シンプルな２数が 良いでしょう。２X＋３Y＝１９は直線の 式ですから この程度はパラメータKを用いて直線を理 解してください。傾きだの、Y切片だのは 覚える必要のないゴミ知識です（笑い）

又、次の解法も面白い。

2X+3Y＝5X−2Y＝19なので
3X＝5Y＝15Kと考えると
X＝5K Y＝3K
①に代入して
19K＝19 ∴K＝1
(X,Y)＝(5，3)


２X＋３Y＝ １９のParameter表記に就いての基本的考え方を解説します。

まず、単純にこの式を満足する(X,Y)の組 中の1つ（２、５）を見つけたとして次に （５、３）を見つけ るのは容易です。Yの係数３だけXの数を 増やして（５、…）とするとY…３は見つ かります。いや、マイナス２は自明なの です。一次式2X+3Y＝19の係数を眺めれ ばXが3増加するとYは2減少と読み取れる のです。

X=３K＋２ Y=−２K＋５としたことがヒ ン トです。(X＝3K+5 Y＝−2K+3の表記も可能 です！更に、X＝3K+8 Y＝−2K+2だって構 いません(^_-)-☆)

Xが３増えてYは２減る。

これが別名傾きとも言われる概念です。

グラフは２点（２，５）（５、３）を結 ぶだけです。

Y切片なんて不必要です。

だから、不定方程式２X＋３Y＝１９の自 然数解は第１象限の格子点

（２，５）（５、３）（８、1）の３個 なのです。

グラフを見れば分かります。

更に、次の様に考えるとParameter表記の 根拠乃至は考えが理解出来ると思います 。

【2X+3Y＝19＝4+15より 2X−4＝−3Y+15 2(X−2)＝−3(Y−5)＝6Kとすると

X−2＝3K Y−5＝−2K つまり、 X＝3K+2 Y＝−2K+5 (X,Y)＝K(3 、−2)+(2、5)のParameter表記 を得るのです

又、2X+3Y＝19＝10+9と考えと 2X−10＝−3Y+9 2(X−5)＝−3(Y−3)＝6Kと考えると X＝3K+5 Y＝−2K+3 更に、2X+3Y＝19＝16+3と考えると X＝3K+8 Y＝−2K+1と表記されるのです！ 】

しかし、中学校ではY＝―2/3 X+19/3と言 う無茶苦茶難しい一次関数つまり直線の 式になりこのグラフを描くのは中学数学 では困難になるのです。所謂中学の直線 の基本が基本ではなくて不毛な概念誘導 に過ぎないことを示している一例として 私は取り上げたのです。

何故このような事態になるのかは傾きと 、Y切片を必ず指導することが指導要領に 書いているからで、教師が頑なに指導要 領を遵守すると

２X＋３Y＝１９の直線は手も足も出ない 難問になる訳です！

２点（２，５）（５、３）を結ぶだけの 一次関数の直線を難問にする基本の遵守 とは原発のような欺瞞の規則遵守に陥る 訳です！

Tシャツ、スニーカーで歩くハイキングコ ースをエヴェレスト征服の装備で歩くよ うな指導は噴飯もの、アナクロニズムの 教育だと思います。

★註記1★ Y＝−３X＋５の様な一次関数は 確かに学校の授業では簡単にY切片５、傾 き−３の直線と見なせる。 しかし、３X＋Y＝５で構わない。X=K Y ＝ー３K＋５なのだから！！ この時Y切片５は自明だろう。何故ならK ＝０、１とすれば直線上の2点 （０，５）（１，２）は即座に判明する のだから。

更に２X＋３Y＝１９を (X,Y)＝k（３、ー ２）＋（２，５）とベクトル表記も可能 です。方向ベクトル（３、ー２）で、点 （２，５）を通る直線と理解しても面白 いでしょう。

★註記2★ 一般にaX＝bYの時、X:Y＝b:a→X＝bK Y＝aKなのですが……これはaX＝bY＝abK とすれば即座に理解出来ることです。 3X＝4Yならば3X＝4Y＝12Kとすれば X＝4K Y＝3Kとなります。 5(X−α)＝3(Y−β)ならば、15Kとすることで 、X＝3K+α Y＝5K+β 点(α、β)を通り方向ベクトル(3、5)の直線 と理解出来るのです。 4X−3Y＝5ならば 4X−3Y＝5＝8−3と考えて 4(X−2)＝3(Y−1)＝12Kとして X＝3K+2 Y＝4K+1 かなり丁寧に述べましたが…4X−3Y＝5 を見て 方向ベクトル(3，4)で点(2，1)を通ると理 解して X＝3K+2，Y＝4K+1と即座に記述可能です ！

Yoshの自閉症的数学教室

【閑話休題】…ツイッターより

http://twitter.com/yosh0316/status/386763301033488385

@yosh0316:
2X−3Y＝3…① 3X+2Y＝11…②の連立方程式を教師の想定する①×2+②×3式の解法ではなく、①+②で
5X−Y＝14…③
②+③で
8X+Y＝25……④
③+④で
13X＝39
X＝3. ④に代入Y＝1
の解を得た生徒を不真面目と叱る数学教師。数学って行儀作法？